函数与导数 (12)

第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题题型一对函数图象的直接考查例1(2013·四川)函数y＝x33x－1的图象大致是()破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案C解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝x33x－1的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝－1313－1＝320，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝6480，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.题型二对函数零点的考查例2已知函数f(x)满足f(x)＝f(1x)，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx．若在区间[13，3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()A．(0，1e)B．(0，12e)C．[ln33，1e)D．[ln33，12e)破题切入点求出f(x)在[13，3]上的解析式，数形结合解决．答案C解析由题意可知当x在区间[13，1]内时，1x∈[1,3]，f(x)＝f(1x)＝ln1x＝－lnx，则f(x)＝－lnx，x∈[13，1，lnx，x∈[1，3]，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)－ax＝0有三个不同的根，即f(x)＝ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，当x在区间[13，1)上时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有一个交点，当x∈[1,3]时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有两个交点．当直线y＝ax过点(3，ln3)时，a的值满足ln3＝3a，即a＝ln33；当直线y＝ax与f(x)相切时，设切点为(x0，lnx0)，则点(x0，lnx0)在直线上，故lnx0＝ax0，而a＝(lnx)′|0xx＝1x0，所以lnx0＝1，x0＝e，即a＝1x0＝1e，函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，则a的取值范围是[ln33，1e)．题型三综合考查函数图象例3已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．破题切入点(1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换．(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围．解(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则x′＋x2＝0，y＋y′2＝1，∴x′＝－x，y′＝2－y.∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋1x′＋2.∴2－y＝－x－1x＋2，∴y＝x＋1x，即f(x)＝x＋1x.(2)∵g(x)＝x2＋ax＋1，又g(x)在[0,2]上为减函数，∴－a2≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．(2013·山东)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()答案D解析函数y＝xcosx＋sinx为奇函数，排除B.取x＝π2，排除C；取x＝π，排除A，故选D.2．(2014·课标全国Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()答案B解析如图所示，当x∈(0，π2)时，则P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则|MM′||OM|＝sinx，∴fxcosx＝sinx，∴f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，则当x＝π4时，f(x)max＝12；当x∈(π2，π)时，有fx|cosx|＝sin(π－x)，f(x)＝－sinxcosx＝－12sin2x，当x＝3π4时，f(x)max＝12.只有B选项的图象符合．3．(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1,2)D．(2，＋∞)答案B解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(12，1)．4．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是()答案B解析函数f(x)＝2x－2是把函数y＝2x的图象向下平移两个单位长度得到的，由2x－20得x1，即在(－∞，1)上，函数f(x)＝2x－2的图象位于x轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把x轴下方的部分对称到x轴上方后得到函数y＝|f(x)|的图象．故选B.5．(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A．[－16，16]B．[－66，66]C．[－13，13]D．[－33，33]答案B解析因为当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝12(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2x2a2时，f(x)＝12(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝12(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝－x，0≤x≤a2，－a2，a2x2a2，x－3a2，x≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a≤66.6．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点．设弧FG的长为x(0xπ)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案D解析如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.因为弧FG的长度为x，所以∠FOG＝x，则AN＝OM＝cosx2，所以ANAH＝AEAB＝cosx2，则AE＝233cosx2，所以EB＝233－233cosx2.所以y＝EB＋BC＋CD＝433－433cosx2＋233＝－433cosx2＋23(0xπ)．7．已知定义在R上的函数f(x)满足：①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；②对∀x∈R，f(34－x)＝f(34＋x)成立；③当x∈(－32，－34]时，f(x)＝log2(－3x＋1)．则f(2014)＝________.答案－2解析由①知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②知函数图象关于直线x＝34对称，即f(－x)＝f(32＋x)，由奇函数可得f(x)＝－f(32＋x)，据此可推出f(32＋x)＝－f(3＋x)，则有f(x)＝f(x＋3)，故函数以3为周期，因此f(2014)＝f(1)＝－f(－1)＝－log24＝－2.8．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](ab)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是________．答案4解析由f(x)＝x2＋1＝1，得x＝0；由f(x)＝x2＋1＝5，得x2＝4，即x＝±2.如图所示，根据题意，得－2≤a≤0，b＝2或a＝－2，0≤b≤2，所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4.9．(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋12|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案(0，12)解析作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0a12.10．方程x|x|16＋y|y|9＝－1的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④f(x)的图象不经过第一象限．其中正确的有________．答案①②③④解析由方程x|x|16＋y|y|9＝－1可知，x，y不可能同时大于0，分类讨论：当x0，y≥0时，x216－y29＝1表示双曲线的一部分；当x0，y0时，x216＋y29＝1表示椭圆的一部分；当x≥0，y0时，y29－x216＝1表示双曲线的一部分；作出图象可知①③④正确，对于②的判断：由于y＝－34x是双曲线x216－y29＝1和y29－x216＝1的渐近线，所以结合图形可知曲线y＝f(x)与直线y＝－34x没有交点，则F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点．11．已知函数f(x)＝xk＋b(其中k，b∈R且k，b为常数)的图象经过A(4,2)、B(16,4)两点．(1)求f(x)的解析式；(2)如果函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x对称，解关于x的不等式：g(x)＋g(x－2)2a(x－2)＋4.解(1)2＝4k＋b4＝16k＋b⇒b＝0，k＝12⇒f(x)＝x.(2)设M(x，y)是曲线y＝g(x)上任意一点，由于函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)必在曲线y＝f(x)上，所以x＝y，即y＝x2，所以g(x)＝x2(x≥0)，于是g(x)＋g(x－2)2a(x－2)＋4⇔x－2≥0x2＋x－222ax－2＋4⇔x≥2x－ax－20.①若a≤2，则不等式的解集为{x|x2}；②若a2，则不等式的解集为{x|xa}．12．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．(1)证明设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)解当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2