函数与导数 (3)

第14练高考对于导数几何意义的必会题型题型一直接求切线或切线斜率问题例1已知f(x)＝x3＋f′(23)x2－x，则f(x)的图象在点(23，f(23))处的切线斜率是________．破题切入点先对函数求导，将x＝23代入求得f′(23)的值即是．答案－1解析f′(x)＝3x2＋2f′(23)x－1，令x＝23，可得f′(23)＝3×(23)2＋2f′(23)×23－1，解得f′(23)＝－1，所以f(x)的图象在点(23，f(23))处的切线斜率是－1.题型二转化为切线问题例2设点P在曲线y＝12ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A．1－ln2B.2(1－ln2)C．1＋ln2D.2(1＋ln2)破题切入点结合图形，将|PQ|的最小值转化为函数切线问题．答案B解析由题意知函数y＝12ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝12ex上点的最小距离的2倍．设y＝12ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则12ex0＝1，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为|ln2－1|2＝22(1－ln2)，则|PQ|的最小值为22(1－ln2)×2＝2(1－ln2)．题型三综合性问题例3(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．破题切入点先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b的方程组，求出a，b的值；然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性，进而确定极值．解(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，∴a＝4，b＝4.(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln12，列表：x(－∞，－2)－2错误!ln12错误!f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，ln12，＋∞；单调减区间为－2，ln12.f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.总结提高(1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据直线的点斜式形式写出切线方程．(2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小值．(3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证．1．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案B解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y′＝1x＋a，∴y′|x＝x0＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，从而y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()A．0B．1C．2D．3答案D解析令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.3．(2014·自贡模拟)曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2答案A解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝x＋2－xx＋22＝2x＋22，所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝21＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案A解析依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－1a×2＝－1，a＝2，故选A.5．(2014·大纲全国)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1答案C解析y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.6．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是()A．－3B．3C．6D．9答案D解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0＝x30－3x0上，①求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，又切线过A、M两点，所以k＝y0－16x0，则3x20－3＝y0－16x0.②联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，从而实数a的值为a＝k＝－2－16－2＝9.7．(2013·广东)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.答案12解析y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝12.8．(2013·江西)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案2解析y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α.曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入得α＝2.9．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(－ln2,2)解析设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2,2)．10．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x－x0)．令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.11．(2014·北京)已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)解(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－22或x＝22.因为f(－2)＝－10，f－22＝2，f22＝－2，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f－22＝2.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，所以切线方程为y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，整理得4x30－6x20＋t＋3＝0.设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)0且g(1)0，即－3t－1时，因为g(－1)＝t－70，g(2)＝t＋110，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．12．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋axex－bx2ex－1＋bxex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.(2)证明由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1，从而f(x)1等价于xlnxxe－x－2e.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.所以当x∈(0，1e)时，g′(x)0；当x∈(1e，＋∞)时，g′(x)0.故g(x)在(0，1e)上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(1e)＝－1e.设函数h(x)＝xe－x－2e，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.