中考数学二次函数归纳题综合三

中考数学二次函数归纳题综合三姓名：__________指导：__________日期：__________【例题3】如图，已知二次函数y=1/2x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：故：抛物线的表达式为：y＝1/2x2﹣x﹣3/2，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3/2，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）①点D在点C的右侧时，设：∠DPC＝∠BAC＝α，过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，由题意得：AB＝2√10，AC＝6√2，BC＝4，PC＝2√2，∵S△ABC＝1/2×AC×BH＝1/2×BC×yA，∴BH＝2√2，∵sinα＝BH/AB＝2√2/2√10＝1/√5，则tanα＝1/2，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝MD/PM＝x/（x+2√2）＝1/2，解得：x＝2√2，则CD＝√2x＝4，故点D（7，0）；②当点D在点C的左侧时，设：∠DPC＝∠BAC＝α，过D点作DM⊥PC于点M，∠PCB＝45°，则MD＝MC＝y，在△PMD中，tanα＝MD/PM＝y/（2√2-y）＝1/2，解得：y＝2/3√2，则CD＝√2y＝4/3，故点D（5/3，0），综上点D（7，0）或（5/3，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴于点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：8/-4＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为1/2，设直线A′N的表达式为：y＝1/2x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝7/2，故直线A′N的表达式为：y＝1/2x+7/2…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①、②两个方程并求解得：x＝﹣7/5，故点N（﹣7/5，14/5）．