专题50 直线与平面、平面与平面的垂直(解析版)

专题50直线与平面、平面与平面的垂直专题知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α考点探究考向1线面垂直的判定与性质【例】如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【解析】(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.题组训练1.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【解析】(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.上述命题中为真命题的是________(填序号)．【解析】①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．考向2面面垂直的判定与性质【例】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA⊥平面ABCD；（2）平面BEF⊥平面PCD.【解析】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD∴PA⊥平面ABCD.（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，点E为CD的中点，∴AB=ED，AB∥ED∴四边形ABED为平行四边形.∵AB⊥AD，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵点E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.又BE，EF⊂平面BEF，BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.题组训练1.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，点M是AE的中点.若点N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC.【解析】因为平面PAC⊥平面ABC，AC为两平面的交线，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC.因为点M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE.又PE∥CB，所以MN∥BC，即MN⊥平面PAC.又MN⊂平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.2.如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.求证：（1）AC⊥平面BCDE；（2）平面ABD⊥平面ABC.【解析】（1）连结BD.在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，BC为两平面的交线，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCDE.（2）在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝2，DC＝2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，BC为两平面的交线，BD⊂平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.又BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC.3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M，N分别为棱PD，PC的中点.求证：（1）MN∥平面PAB；（2）平面AMN⊥平面PCD.【解析】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.（2）因为AP＝AD，点M为PD的中点，所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为CD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，所以AM⊥平面PCD.因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PCD.考向3平行与垂直的探索性问题【例】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】（1）连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.题组训练1.在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)在△ABC中，因为AC＝3，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，所以AC⊥平面FBC.(2)因为AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC.因为CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1.所以△BCD的面积为S＝34.所以四面体FBCD的体积为VF－BCD＝13S·FC＝312.(3)线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA∥平面FDM.证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点．所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA∥平面FDM成立.2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.3.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OF.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点．又F为EC的中点，∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE.又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE.