电网络第六章网络函数与稳定性

2021/10/291第六章网络函数与稳定性2021/10/292§6-1线性网络的网络函数——H(s)是复频率s的函数。::当s＝jω时,H(s)即为正弦稳态下的网络函数H(jω),即H(jω)＝H(s)｜s＝jω)()()(sEsRsH输入激励的象函数零状态响应的象函数2021/10/293网络函数分类:1.驱动点函数Z（s）2.转移函数T（s）定义：如果激励和响应位于同一端口,则网络函数称为驱动点函数(DrivingPointFunction),否则称为转移函数或传递函数(TransferFunction)。•驱动点函数)()()()()()(sUsIsYsIsUsZ驱动点导纳函数驱动点阻抗函数2021/10/294•转移函数)()()()()()()()()()()()(sIsUsZsUssIsYsIsIsAsUsUsAsoToTsoIsoU转移阻抗函数转移导纳函数转移电流比压比转移电2021/10/295二、网络函数的性质(1)由于线性时不变电路中元件的参数为实数值,故所列出的复频域代数方程为s的实系数代数方程,因此,网络函数一定是s的实系数有理函数,即证明H(s)的分子、分母多项式的根的分类：01110111)(asasasbsbsbsbsHnnnmmmm2021/10/296(a)一阶实数;(b)一阶共轭虚数;(c)一阶共轭复数;(d)二阶及以上实数、共轭虚数、共轭复数。(2)当E(s)＝1时,H(s)＝R(s)。而E(s)＝1表示e(t)＝δ(t),所以,网络函数H(s)为电路的冲激响应h(t)的象函数,即::网络零状态响应的象函数等于网络函数与外加激励函数之积,即)]([)(thsH)()()(sEsHsR2021/10/297(3)设网络由阻抗、导纳和四种类型的受控源组成。令网络中的一些元件或全部元件的特性由各个不相同的变量x1,x2,…,xn表征,其余元件指定数值,则任一转移函数T都可表示为两个都是变量xk的一次多项式之比。证明(4)通常H(s)和E(s)均为复频率s的有理分式,即)()()(,)()()(sQsPsEsDsNsHmjjniiqspssPsNsQsDsPsNsR11)()()()()()()()()(2021/10/298设D(s)和Q(s)具有单根,应用部分分式展开,得则R(s)对应的原函数为::网络的零状态响应由两部分组成,第一部分与网络函数分母D(s)的特征根有关,为响应中的自由分量;第二部分则与网络激励有关,为响应中的强迫分量。mjjjniiiqsBpsAsR11)(mjtqjnitpijieBeAtr11)(2021/10/299H（s）的因子形式：•对于多输入和多输出情形——H（s）称为网络函数矩阵。niimjjpszsHsH110)()()()()()(sEsHsR2021/10/2910三、网络函数的计算•对于单输入单输出(SISO)网络,频域方程的形式为——A为n阶方阵,b＝［b1,b2,…,bn］T为n维列向量,X为n维未知量列向量,Us为输入。设X的第i个分量Xi为输出,则运用克莱姆法则(Cramer’sRule),网络函数T＝Xi／Us可表示为sbUAXDNbbbUXTniniisi2211——Δ为A的行列式,Δki为A的相应代数余子式。2021/10/2911•增广网络(AugmentedNetwork)将网络中的独立电源转换成同一类型的受控源,控制量为输出Xi,控制系数为p(不同于网络的其它量),，这样的网络称为增广网络。对于增广网络,其方程为或者ispXUisbpXbUAX0)()()(211122222211111211nnnnninnniniXXXapbaaaapbaaaapbaaa2021/10/2912对上式第i列应用拉普拉斯展开(LaplaceExpansion),可得::Δc中不含p的项之和就是Δ;含p的项之和即为－pN。如果取p＝1/T,得例题pNDbbbpniniic)(221101NTDpNDc2021/10/2913四、网络函数的极零点图•把网络函数的极点和零点在s平面上的位置分布图(零点用“O”表示,极点用“×”表示,r阶极点用表示),称为该网络函数的极零点图。例题极点分布与原函数波形的对应关系•若,其对应的原函数是按指数衰减的,即t∞时，hi(t)趋进于零。0,)(aasAsHiitiieAth)(2021/10/2914•若,对应的原函数为当t∞时，hi(t)趋近于零。•若•其对应的原函数为衰减振荡，即当t∞时，hi(t)趋近于零。::当极点位于s平面的右半开平面,即Re［pi］＞0时,类似地可以说明,当t∞时,hi(t)趋近于∞。0,)(aasAsHriitriietrAth1)!1()(0,)(aAjasAjasAsHiiii为复数，)sin()(tHethti2021/10/2915极点位于虚轴上时•若，其原函数是阶跃函数,即•若，其对应的原函数为等幅振荡,即::若极点是位于虚轴上的一阶以上极点时,则当t∞时,hi(t)∞。sAsHii)()()(tAthiijsAjsAsHiii)()sin()(tHthi2021/10/2916???????2021/10/2917•结论：当极点分布在s平面的左半开平面时,hi(t)随着t∞,而趋近于零,当极点分布在s平面的右半开平面时,hi(t)随着t∞亦将趋向无穷大;当极点是位于s平面虚轴上的一阶极点时,hi(t)是有界的,而当极点是位于s平面虚轴上的一阶以上极点时,hi(t)随着t∞亦将趋向无穷大。2021/10/2918五、频率特性•在正弦稳态之下，H(jω)又可写成极坐标形式：——H(ω)＝｜H(jω)｜为网络函数的模。•幅频特性——θ(ω)为网络函数的辐角。)(/)()(HjHERH)(2021/10/2919•相频特性例题结论：(1)H(ω)是频率ω的偶函数,即H(ω)＝H(－ω);(2)θ(ω)是频率ω的奇函数,即θ(ω)＝－θ(－ω)。证明ER)(2021/10/2920•H(jω)是H(s)在s＝jω的特例由得niimjjpszsHsH110)()()(niimjjpjzjHjH110)()()(2021/10/2921::零极点的位置及常数H0完全决定了H(s)的幅频特性及相频特性。)()arg()()(11110inimjjniimjjpjzjpjzjHH2021/10/2922•网络函数的实部与虚部的关系对于线性因果网络,在t＜0时,冲激响应h(t)＝0。dtjtjXRdejHthtjsincos)()(21)(21)(dtXtRthsin)(cos)(21)(2021/10/2923将上面两式相加或相减::仅由H(jω)的实部或虚部就能够决定t＞0时的h(t)。设h(t)不含δ(t),h(0＋)存在，其中0sin)(cos)(210tdttXR0,sin)(1cos)(1)(ttdXtdRth)()()(0thththe)]()([21)()]()([21)(0ththththththe2021/10/2924且根据频域卷积定理,得)())(sgn()(),())(sgn()(00thtththtth)()1(1)()2(21)())(sgn()()(0RjRjthtjXth未完成dXRdRX)(1)()(1)(希尔伯特(Hilbert)变换。2021/10/2925•正弦稳态下，——•群延时(简称延时))()(ejH)()()(j)()(),(ln)()()(ln)(ln)()(HjHjHj用弧度或度量度，用奈培量度，——dddd)()(）（2021/10/2926六、双二次网络函数•双二次网络或双二次节(Biquads)用来实现双二次网络函数的电路。)()()()()()(210sHsHsHsUsUsHms－＋us(s)u0(s)H1(s)H2(s)Hm(s)2021/10/2927•双二次网络函数H(s)定义•分类：低通(Low－pass)滤波器(e＝0,c＝0,d＝1)高通(High－pass)滤波器(e＝1,c＝0,d＝0)22220220)()()(pppzxzssQssQsKbassdcsesKsUsUsH0,00baKKdecba为常数，且、、、、、、——bassKsH21)(basssKsH22)(2021/10/292822()sdHsKsasb22()sasbHsKsasb带通(Band－pass)滤波器(e＝0,c＝1,d＝0)2()sHsKsasb带阻(Band－stop)滤波器(e＝1,c＝0,d≠0)全通(All-pass)滤波器(e＝1,c＝－a,d＝b)2021/10/2929分类：单运放二次节双运放二次节三运放二次节四运放二次节负反馈正反馈无限增益－＋usu0RC－＋231定义无源RC网络的前馈和反馈转移函数分别为32110023FFUFBUUUTTUU2021/10/2930根据叠加定理,得——A为运放的开环放大倍数。则整个网络的转移函数为，当A∞时01UTUTUFBsFF)(10oFBsFFUTUTAAUUATTUUTFBFFso1FBFFsoTTUUT2021/10/2931将TFF和TFB写成两个多项式之比,即::负反馈电路的转移函数的极点由RC网络反馈转移函数的零点决定,而转移函数的零点则由RC网络的前馈转移函数的零点来决定,二者均与RC网络的极点无关。FBFFsoFBFBFFFFNNUUTDNTDNT2021/10/2932•对于较高频率,采用运放的单极点模型:双极点模型:ssA1)()1(1)(sssA——τ为运放增益带宽积的倒数,θ为确定运放第二个极点位置的参数。2021/10/2933七、由转移函数编写状态方程•对于单输入－单输出的线性时不变网络,引入一个辅助变量X(s)，)()()()()(sDsNsEsRsH——N(s)和D(s)均为复变量s的有理多项式。)()()()()()()()()()(01110111sXbsbsbsbsXsNsRsXasasassXsDsEnmnmnnn2021/10/2934取拉反变换,得定义x(t)及其各阶导数为状态变量,即状态方程为)()()()()()()()()()(0)1(1)1(11)(0)1(1)1(1)(txbtxbtxabtxbtrtxatxatxatxtemnmmmnnn),()(,),()(),()(),()()1()2(3)1(21txtxtxtxtxtxtxtxnn)(100010000001000001012112210121texxxxaaaaaxxxxnnnnnn