工程数学复变函数积分变换场论59473

第六章第六章共形映射共形映射第一节共形映射的概念第二节分式线性映射第三节唯一决定分式线性映射的条件第四节几个初等函数所构成的映射第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--22--第一节共形映射的概念一有向曲线的切线方向二解析函数的导数的几何意义三共形映射的概念第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--33--一有向曲线的切线方向复平面一条有向曲线C可以用方程(),()zztt表示，我们规定C的正向为增大时点当tz移动的方向。()zt为一连续函数。其中由于0000()()()limtzttztztt因此，如果当0()0zt时，将0()zt看成起点为00(())zzt的向量的话，如图所示第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--44--0000()()()limtzttztzttoxy0()ztt0()ztz0()zt(0)txyoC0()zt0()ztt(0)tzC0()zt那么0()zt与曲线C相切于0z且指向C正向的一个向量.由此可得1）0Arg()zt就是曲线C在点0z处切向与x轴正向之间的夹角。2）相交于一点两条曲线12,CC之间的在交点处就是12,CC在交点处正向切向之间的夹角。ztzt夹角规定：第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--55--二解析函数的导数的几何意义下面总假定函数()fz在区域D解析，0z是D内一点，且0()0.fz又设C是z平面内任意一条通过0z的光滑有向曲线，其参数方程为(),zztt且t增大的方向为C的正向，000(),()0.zztzt这样映射()wfz就将曲线C映射成w平面通过00()wfz的一条有向曲线,L其参数方程为(())wfzt其正向也为t增大方向。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--66--uov()wxoy()zL0wC0z()wfz0Arg()wt0Arg()fz由复合函数微分法，有000()()()wtfzzt因此有000Arg()Arg()Arg()wtfzzt即000Arg()Arg()Arg()(6.1.1)fzwtzt注意到0Arg()zt表示曲线C在0z处的正向切向与x轴夹角，0Arg()zt0Arg()wt表示L在0w处正向切向与u轴的夹角。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--77--000Arg()Arg()Arg()fzwtzt因此0Arg()fz可以理解为：曲线C经过映射()wfz后在0z处的转动角。利用(6.1.1)式可得这个转动角的大小、方向都与曲线C的形状、方向是无关的。所以这种映射称为具有转动角不变性。设12,CC是在0z处相交的两条有向曲线，其参数方程分别为12(),()(),zztzztt并且010()zzt20(),zt12,CC在映射()wfz下的像分别为12,,LL为在00()wfz相交的两条有向曲线，他们的参数方程分别为1122()(()),()(()),wwtfztwwtfzt第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--88--oxy()zouv()w1C2C0z1L2L()wfz0w利用公式(6.1.1)可得10102020Arg()Arg()Arg()Arg()wtztwtzt即20102010Arg()Arg()Arg()Arg()(6.1.2)wtwtztzt这表明相交于0z的任意两条曲线方向都等于经过映射()wfz12,CC的夹角在大小和后所得的像12,LL的夹角所以这种映射具有保持两曲线的夹角和方向的不变性。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--99--oxy()zouv()w这种性质称为保角性。0z0wzwCLsr()wfz下面解释0|()|fz的几何意义设0,izze0,iwwres为曲线C上介于0z与z之间的一段弧长，为曲线L上介于0w与w之间的一段弧长。由于000limlimlim1zzzzwwsrr第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1010--所以00000|()|lim||lim||iizzzzwwrefzzze0()lim||izzrses即有00|()|lim(6.1.3)zzfzs这个极限值称为曲线C在0z处的伸缩率。(6.1.3)表明：0|()|fz是经过映射()wfz后通过0z的任何曲线C在0z处的伸缩率，它与曲线C的形状和方向是无关的。映射的这种性质称为伸缩率不变性。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1111--综上所述，我们有如下定理：定理1设函数()wfz在区域D内解析，0,zD且0()0,fz那么映射()wfz在点0z处具有两个性质：1）保角性，即通过0z的任意两条曲线间的夹角与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向上是保持不变的。2）伸缩率不变性，即通过0z的任意一条曲线的伸缩率均为0|()|fz而与该曲线的形状与方向无关。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1212--二共形映射的概念定义设函数()wfz在点0z的某个领域内是一一的，且在0z处具有保角性和伸缩率不变性，则称映射()wfz在点0z处是共形的，如果映射()wfz在区域D上每一点都是共形的，()wfz是0z处的共形映射。或称()wfz为区域D上的共形映射。则称映射第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1313--根据共形映射的定义与定理1我们有定理2设函数()wfz在0z处解析，0()0,fz且则映射()wfz为0z处的共形映射。而且0Arg()fz为映射()wfz在0z处的转动角，0|()|fz为映射0()wfz的伸缩率。如果解析函数()wfz在区域D内每一点都有()0,fz那么映射()wfz为D上的共形映射。第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1414--例求映射22zwze在点zi出的转动角和伸缩率解2(2)2zwze转动角Arg(2)2i伸缩率|(2)|2i222(2)2izizi第一节第一节共形映射的概念共形映射的概念第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1515--如果一个映射具有伸缩率不变性，且仅保持两曲线的夹角的大小不变但方向相反，那么这个映射称为第二类共形映射。例如wz为第二1C1L2C2Lxyo类共形映射。第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1616--第二节分式线性映射一分式线性映射的一般概念二分式线性映射的分解三分式线性映射的性质第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1717--一分式线性映射的一般概念称映射(0)(6.2.1)azbwadbcczd为分式线性映射，其中,,,abcd均为常数。由于20()adbcwczd所以分式线性映射在复平面上除满足0czd的点外是共形的。第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1818--分式线性映射是一个双线性映射，这是因为它的逆映射(()()0)dwbzdabccwa也是一个分式线性映射。两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--1919--二分式线性映射的分解,wzb分式线性映射可以表示为1()adawbcczdc因此分式线性映射可以分解下列三种特殊映射的复合(0),waza下面讨论这三种特殊的映射，为了方便起见，我们将w平面看成与z平面重合。1）wzb是一个平移映射。1wz第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2020--xyobzbzb事实上，如果将b看成一个向量的话，zb就可以看成将点z沿b的方向移动||b个单位的距离所得的点。2）(0)waza是一个旋转、伸缩映射。xyoziezaz事实上，如果记,iae则az就是这样一个向量：首先将z旋转一个角度得到一个向量,iez倍后就得到了.waz再将其伸长(或缩短)||a第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2121--3）称1wz为反演映射。为了了解这个映射的几何解释我们首先定义关于已知圆周的对称点设C是以O为心，R为半径的圆周，对于复平面异于O的任意一点,P在从O出发的指向P的射线上取点,P使得2||||OPOPR则称P与P是关于圆周C的对称点。OCRPP规定，圆心O关于圆周C的对称点为无穷远点。第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2222--将1wz分解为11wz和1,ww记,ize则11iwe因此11ArgArg,||||1,wzwzz1wwxyo由此可得1w与z为关于单位圆周的对称点。因此1wz是这样一个映射：首先将点z映射成z关于单位圆周的对称点1,w然后将1w映射成1w关于实轴的对称点.w第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2323--三分式线性映射的性质1）保角性首先讨论1wz的保角性，由于此映射将0z映射成,w将z映射成0,w因此1wz在扩充复平面上是一一的映射。又由于210wz所以1wz是在扩充复平面上除点0,zz外的共形映射。第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2424--我们规定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点的夹角在大小、方向上都与它们在映射1z过原点的两条曲线在原点处的夹角大小、方向相同。下所映成的通因此由于映射1wz在0处是解析的，且有()1,w所以w在0处，即1wz在z处是共形的，反之由于1zw在0z解析，且有()1,z所以z在0z处，即1wz在0z处是共形的。综上所述我们有：第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2525--映射1wz是扩充复平面上的共形映射。其次我们将讨论(0)wazba在扩充复平面的保角性。由于0,wa所以wazb在复平面上是共形的，为了讨论这个映射在z处的共形问题，显然wazb在扩充复平面上是一一映射，我们令：11,,wz则,ab且00210()aaab第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2626--所以ba在0处，即wazb在z处是共形的，因此有(0)wazba是扩充复平面上的共形映射。定理1分式线性映射在扩充复平面上是一一的，且具有保角性。2）保圆性我们规定：直线是半径为无穷大的圆周。由于映射(0)wazba是平移、旋转、伸缩映射的复合，因此这个映射将直线映射成直线，将圆周映射第二节第二节分式线性映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射吴新民--2727--成圆周，即映射wazb在扩充复平面上将圆周映射成圆周