工程数学复变函数积分变换场论59484

第四章第四章级数级数第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节罗朗级数第五节孤立奇点第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--22--第一节复数项级数一复数列的极限二级数的概念第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--33--定义设),2,1}({nn为一个复数列,其中,nnniba又设iba为一定复数,如果对任意给定的,0相应的总可以找到一个正整数,N使当Nn时,恒有,||n那么称为复数列}{n当n时的极限,此时也称为复数列}{n收敛于。nnlim记为由于,||,||||bbaannn且||2||,2||nnnbbaa因此有一复数列的极限第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--44--定理一且复数列),2,1}({nn收敛于的充要条件是,ReRelimnn。ImImlimnn第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--55--定义设),2,1}({}{nibannn为一复数列，称表示式nnn211为无穷级数，而称其前n项的和nnS21为级数的部分和。如果复数列}{nS是收敛到,limSSnn即,S则称级数1nn是收敛的，且和为,S否则称为是发散的。二级数的概念第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--66--定理二复数项级数11)(nnnnniba收敛的充要条件是实数项级数11,nnnnba都收敛。事实上nnnnnnibbiaaS)()(111由定理一得nnnnnnSSlim,limlim利用实数项级数的性质：0lim1nnnnaa第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--77--我们得复数项级数收敛的必要条件：1nn如果复数项级数收敛，则必有0limnn定理三如果级数1||nn收敛，则级数1nn必收敛，且不等式11||||nnnn成立。［证明］由于实数项级数1221||nnnnnba收敛，且2222||,||nnnnnnbabbaa第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--88--收敛，从而11,nnnnba都收敛，由定理二知1nn收敛。又因nkknkk11||||所以nkknnkkn11||lim||lim即11||||nnnn利用正项级数敛散性的比较判别法知11||,||nnnnba第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--99--定义如果1||nn收敛，则称级数1nn绝对收敛，如果1nn收敛，而1||nn发散，则称1nn条件收敛。由于当nnniba时有||||22nnnnbaba且|||||,|||nnnnba所以我们有：级数1nn绝对收敛的充要条件是实数项级数11Im,Rennnn绝对收敛。第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--1010--例1判别下列数列的敛散性，若收敛求极限。1）,)11()11(2innnen2）innnsin1解1）]2)11sin(2)11[cos()11(ninnnn由于limRenn收敛，所以数列innnen)11(2)11(且iennlimlimImnn11lim(1)cos(1)2nnnn011lim(1)sin(1)2nnnne第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--1111--2）innnsin12nneein2）,sinh1ninn由于,sinh1,0nnbann且nnblim因此，n是一个发散数列。例2判别下列级数的敛散性，1）;)1(11nnin2）;12nnni3）1nnni解1）由于11Re[(1)]ninn发散，所以原级数发散。是绝对收敛还是条件收敛。如果收敛，指出11nn第一节第一节复数项级数复数项级数第四章第四章级数级数吴新民--1212--2）;12nnni2）由于21||nnin收敛，所以原级数绝对收敛。211nn3）1nnni3）由于1||nnin发散，所以原级数不是绝对收敛，又由于1nnin而利用交错级数的莱布尼茨判别法知11112)1(,2)1(nnnnnn都是收敛的，所以原级数条件收敛。11nn1(1)2nnn11(1),21nnnin第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1313--第二节幂级数一幂级数的概念二收敛圆与收敛半径三收敛半径的求法四幂级数的运算第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1414--定义设),2,1)}(({nzfn为一个复函数列，其中每个函数在同一区域D上有定义，称表示式)1.2.4()()()()(211zfzfzfzfnnn为复变函数项级数，记作。1)(nnzfn级数的前n项的和)()()(1zfzfzSnn称为前项的部分和。如果对于D中的某一点,0z有)()(lim00zSzSnn一幂级数的概念第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1515--则称0z为级数的收敛点，而)(0zS称为级数在0z处的和,收敛点的全体称为收敛域。如果对于D中的点1z数列)(1zS发散，则称1z为级数的发散点。对于级数的收敛域中每一点z级数的和)(zS为定义在收敛域上的函数，如果取101)()(nnnzzczf我们可得0()zz的幂级数：)2.2.4()()()(001000nnnnnzzczzcczzc数的和函数，称为级第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1616--如果取nnnzczf1)(我们得z的幂级数：)3.2.4(100nnnnnzczcczc对于)2.2.4(如果令0zz就可以转化为对)3.2.4(的讨论。定理一（阿贝尔（Abel)定理）如果级数0nnnzc在)0(0zz处收敛，则对满足||||0zz的,z级数必绝对收敛，如果级数在1zz处发散，则对满足级数必发散。||||1zz的,z第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1717--［证明］由于级数00nnnzc收敛，根据收敛级数的必要条件知,0lim0nnnzc因此存在正数,M使得对一切n有,||0Mzcnn如果,||||0zz则,1||||0qzz而nnnnnnnMqzzzczc||||||||00因为0nnMq为公比小于1的等比级数，故收敛，由正项级数的比较判别法知，0||nnnzc收敛，即级数0nnnzc绝对收敛。第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1818--定理的另一部分证明用反证法，事实上如果,||||1zz而级数1nnnzc收敛，由定理的第一部分知级数01nnnzc必收敛，矛盾，1nnnzc必发散。矛盾表明级数第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--1919--根剧阿贝尔定理，幂级数的收敛域只可能有下面三种情况：1）对所有的实数都是收敛的，此时幂级数的收敛域为整个复平面。2）对除0z外的所有实数都是发散的，3）存在一个正实数,使幂级数在处收敛，显然因此在以原点为心，为半径的圆周C的内部，幂级在一个正实数,使幂级数在z处发散，且存数仅在0z处收敛。此时幂级二收敛圆与收敛半径第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2020--数是绝对收敛的，现在C外部，C的内部取数,2若幂级数在此点发散，则对一切,2||z级数一定发散，即发散点增加，若幂级数在2处收敛，则对一切满足2||z的,z级数一定绝对收敛，如此下去，一定存在一个正数R及其一个以原点为心，R为半径的圆周,RC使得幂级数在其内部绝对收敛，在其外部发散。R在以原点为心，为半径的圆周C的外部，数一定发散。幂级第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2121--RC为收敛圆周，因此，幂级数在收敛圆周的内部一定是绝对收敛的，我们称这样的R为幂级数的收敛半径，的内部，即RCRz||为收敛圆盘。收敛圆周的外在部一定是发散的，情况具体分析。在收敛圆周上，具体为统一起见，我们规定：当幂级数在整个复平面上收敛时，收敛半径,R当幂级数仅在0z收敛，R第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2222--［解］幂级数的部分和为)1(111)(1zzzzzzSnnn由于1||111||)(limzzzzSnn所以当1||z时，幂级数是发散的，因此幂级数的收敛收敛半径。0R例1求幂级数0nnz的收敛圆盘和和函数。当1||z时，幂级数是收敛的，从而是绝对收敛的。第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2323--半径,1R收敛圆盘为,1||z和函数为。z11即)4.2.4()1|(|111zzzzn第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2424--定理二（比值法）在幂级数)3.2.4(中，如果0nc且||||lim1nnncc（包括）则幂级数的收敛半径为0010R［证明］当0z时，由于三收敛半径的求法第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2525--11||lim||nnnnnczcz因此1）当时，对任意的,1||,0zz级数发散，即。0R2）当0时，如果,1||z即,1||z级数绝对收敛，如果,1||z即,1||z级数一定发散，（若不然，可选取,1z使得||||11zz且级数在1z绝对收敛，这与1||||||lim11111zzczcnnnnn矛盾，）1||lim||||nnnczc||z第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2626--因此，收敛半径。1R3）当0时，对于复平面内的每个,z由于,10||z级数是绝对收敛的，因此，收敛半径。R定理三（根值法）在幂级数)3.2.4(中，如果0nc且nnnc||lim（包括）则幂级数的收敛半径为0010R第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2727--例2求下列幂级数的收敛圆和收敛半径。1）;12nnnzni2）;sin1nninz3）。12)11(2nnnnzn［解］1）,2nicnn且1||lim||nnncc因此收敛半径,1R收敛圆盘。1||z2）sinncin且1||lim||nnncc因此收敛半径,1eR收敛圆盘为。ez1||22lim(1)nnn1,(),2nniee11limnnnnneeeee第二节第二节幂级数幂级数第四章第四章级数级数吴新民--2828--3）,)11(22nnnnc且lim||nnnc收敛半径,21e