武汉大学2014年线性代数试题

武汉大学2014年线性代数试题一．已知矩阵1200130000020010A⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，且*111[()]2122ABAABE−−=+，其中*A是A的伴随矩阵，求矩阵B.二．求下面1n+阶行列式的值：01211232234112211nnnnnnnnssssssssxDssssxssssx−+++−=#####，其中12kkkknsxxx=+++，0,1,2,k=.三．设向量组12,,,sβββ可由向量组121,,,,ssαααα+表示为1,(1,2,,)iiistisβαα+=+=.已知向量10sα+≠.试证明：如果对任意一组实数12,,,sttt向量组12,,,sβββ线性无关，那么11,,,ssααα+必线性无关.四．证明：在线性空间定义中，第(3)，(4)两条公理，即(3)在V中存在零元素0，即对所有的Vα∈，都有00ααα+=+=；(4)对所有的Vα∈，都存在负元素Vβ∈，使得0αββα+=+=，可换成等价条件：对V中任意两个元素,αβ，一定存在xV∈，使得xαβ+=.五．设()nslF是()nMF中由元素ABBA−生成的子空间，其中,()nABMF∈.证明:2dim(())1nslFn=−.六．设V，V′分别是数域K上的n维，m维线性空间，把由V到V′的所有线性映射构成的集合记为Hom(,)KVV′.(1)证明：Hom(,)KVV′构成数域K上的线性空间；(2)证明：Hom(,)KVV′的维数是mn．七．设方阵01210101nnccFcc−−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠%%%#%，(1)求F的的特征多项式()fx与最小多项式()mx；(2)求与方阵F可交换的方阵全体．八．设ϕ是n维复线性空间V的线性变换，0λ是ϕ的特征值，0m是0λ在ϕ的最小多项式中的重数.证明：1000min{|ker()ker()}kkkmkZλεϕλεϕ++=∈−=−，其中ε为V的恒同变换，而ker()ϕ表示线性变换ϕ的核空间.九．设V是数域K上的n维线性空间，(,)fαβ是V上的非退化双线性函数.证明：对任何*gV∈，存在惟一的Vα∈，使得()(,),gfVβαββ=∀∈．十．设ϕ是欧氏空间V的正交变换，且mϕε=(恒等变换)，这里1m.记{|()}WxVxxϕϕ=∈=.并设Wϕ⊥为Wϕ的正交补.证明：对任意Vα∈，如果有分解αβγ=+，其中Wϕβ∈，Wϕγ⊥∈，那么必有111=()miimβϕα−=∑.