二次函数函数与方程函数模型及其应用

点击进入相应模块第五节二次函数、函数与方程、函数模型及其应用1.理解并掌握二次函数的图象、性质，会求二次函数的最值，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关系解决有关问题.2.结合函数图象，了解函数的零点与方程的根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解.3.了解幂函数、指数函数、对数函数的增长特征，了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)在社会生活中的应用，会用这些模型解决简单的实际应用问题.1.二次函数与一元二次方程、二次不等式是中学数学主要的运算载体，是解决问题的主要方法，很多问题最终都要化归到这方面解决.2.函数零点及二分法是新课标中的新增内容，是高考常考点.3.函数模型的应用是理论与实践结合的需要，顺应时代的发展，是高考热点.4.零点问题一般以选择、填空形式考查，难度不大，为低中档题；函数模型应用主要以解答题的形式考查，难度稍大，为中等偏上难度.二次函数、函数模型及其应用高考指数:★★★1.(2012·重庆高考)设函数f(x)=x2-4x+3，g(x)=3x-2，集合M={x∈R|f(g(x))＞0}，N={x∈R|g(x)＜2}，则M∩N为()(A)(1，+∞)(B)(0，1)(C)(-1，1)(D)(-∞，1)【解题指南】根据指数函数的性质及二次不等式的解法进行计算.【解析】选D.f(g(x))=(3x-2)2-4×(3x-2)+3＞0,解得3x＞5或3x＜3,即x＞log35或x＜1,又g(x)=3x-2＜2,解得x＜log34,所以M∩N为(-∞,1).2.(2011·福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(-2,2)(C)(-∞，-2)∪(2，+∞)(D)(-∞，-1)∪(1，+∞)【解题指南】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式Δ=m2-40，由此即可解得m的取值范围.【解析】选C.∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，需判别式Δ=m2-40，解得m2或m-2.3.(2010·湖南高考)函数y=ax2+bx与(ab≠0，｜a｜≠｜b｜)在同一直角坐标系中的图象可能是()baylogx｜｜【解析】选D.在A中由抛物线的开口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知01,不能得到1，∴A不正确.在B中由抛物线的开口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知01,不能得到1，∴B不正确.baba｜｜｜｜baba｜｜｜｜在C中由抛物线的开口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知-1,可以得到1，此时对数函数应该单调递增，∴C项错误.在D中由抛物线的开口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知-1,得到1，此时得到对数函数单调递减，∴D项正确.baba｜｜｜｜baba｜｜｜｜4.(2012·江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为［0,+∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6)，则实数c的值为_______．【解题指南】以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识.解题关键是不等式解集的端点是对应方程的两根.【解析】由题意a2-4b=0，所以f(x)＜c,可换为x2+ax+-c＜0,∴∴答案：92a42mm6aam(m6)c4，，22a(2m6)cm(m6)m(m6)9.445.(2011·湖北高考)里氏地震M的计算公式为：M=lgA-lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍.【解题指南】“在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001”，即A0=0.001,A=1000时，求M；第二问可将里氏地震M的计算公式用A0、A9、A5表示后，再求解.【解析】当A0=0.001,A=1000时，M=lgA-lgA0=lg1000-lg0.001==lg106=6；设9级地震最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9=lgA9-lgA0，5=lgA5-lgA0所以lgA9-lgA5=4，即答案：6100001000lg0.00149955AAlg4,1010000.AA函数与方程高考指数:★★★★★6.(2011·新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()111113(A)(,0)(B)(0,)(C)(,)(D)(,)444224【解题指南】结合函数f(x)的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数f(x)的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内.【解析】选C.f(x)是R上的增函数且图象是连续的，又∴f(x)定在(,)内存在唯一零点.111144221111f()e43e20,f()e43e10,442214127.(2010·福建高考)函数f(x)=的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.f(x)=绘制出图象大致如图，所以零点个数为2.2x2x3,x02lnx,x02(x1)4,x0,lnx2,x0【方法技巧】关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点.(2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.8.(2010·浙江高考)已知x0是函数f(x)=的一个零点.若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则()(A)f(x1)＜0，f(x2)＜0(B)f(x1)＜0，f(x2)＞0(C)f(x1)＞0，f(x2)＜0(D)f(x1)＞0，f(x2)＞0【解析】选B.y=2x与y=在(1,+∞)上都为增函数，所以f(x)=2x+在(1,+∞)上单调递增，因为f(x0)=0，x1x0，x2x0,所以f(x1)0,f(x2)0.x121x11x11x9.(2010·天津高考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)【解析】选C.∵f(x)=ex+x-2,∴f(0)=-10,f(1)=e-10,故选C.10.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x＋m＋3)，g(x)=2x-2.x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是_______.【解析】当x＜1时，g(x)＜0；当x≥1时，g(x)≥0，只需f(x)＜0，易知m=0时，不成立，所以解得-4＜m＜0.综上,-4＜m＜0.答案：-4＜m＜0m0,2m1,m31,＜＜＜11.(2011·福建高考)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________.【解题指南】(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项⇔(c-a)2=(b-c)(b-a)，将c=a+x(b-a)代入上式，化简整理可得关于x的方程，解方程即可.【解析】由题意得：(c-a)2=(b-c)(b-a)，∵c=a+x(b-a),将其代入上式，得[a+x(b-a)-a]2＝[b-a-x(b-a)](b-a)∴x2(b-a)2=(b-a)2(1-x)，∵ba,∴b-a0,∴x2=1-x,即x2+x-1=0,解得又∵0x1,∴x=.答案：121515xx,22，15251212.(2010·全国Ⅰ)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_______.【解析】方法一：如图，在同一直角坐标系内画出y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象,观察图象可知，a的取值必须满足解得1a.a1,4a11454方法二：由x2-|x|+a=1得(|x|-)2=-a+，作出y=(|x|-)2的图象如图所示.故当0＜-a+＜,即1＜a＜时，(|x|-)2=-a+有四个解，即直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点.答案：1a125412541454125454【误区警示】利用数形结合思想研究函数的零点(方程的根)、曲线交点问题，要注意以下两个方面(1)在去掉绝对值时要格外注意绝对值里面数值符号的变化.(2)在画图象时要考虑到端点等特殊情况.函数与方程【典例1】(2012·北京高考)函数f(x)＝的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)31x21x()2【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①f(x)解析式中含有两个函数②题目要求判断函数f(x)的零点的个数.(2)信息分析：利用函数与方程思想,把函数零点个数问题化为方程解的个数问题,再转化为两个函数图象的交点个数问题.1x21yx,y();2【解题流程】选B.函数f(x)＝的零点个数，是方程=0的解的个数，是方程的解的个数，也就是函数与y=()x的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.1x21x()21x21x()21x21x()212yx12【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)已知函数判断零点的个数，所在区间，求函数零点.(2)利用函数零点及函数对应的方程解决综合性问题等.此类问题经常以选择题、填空题的形式考查，一般为中档难度.由于该部分知识为新课标新增内容，所以是高考考查热点.备考策略：函数、方程是解决数学问题的两个重要工具，是高考复习的重点，零点问题将二者结合在一起，是高考的新增考点.在训练时(1)要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间.考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大.创设新情境多方面考查学生探索能力【典例2】(2010·北京高考)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为_______；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_________.说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①正方形PABC边长为1，函数y=f(x)为正方形顶点P(x,y)的轨迹方程.②正方形沿x轴正方向滚动.先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动.(2)信息分析：①让正方形沿x轴正方向滚动，观察分析P点运动轨迹，正方形以顶点A为中心顺时针旋转时，P点做以A为圆心，|PA|为半径的圆周运动；以顶点B为中心顺时针旋转，P点做以B为圆心，|PB|为半径的圆周运动；以此类推.②作出点P的图象，从图象可求出最小正周期与面积.【规范解答】点P在一个周期内的运动轨迹如图所示.y=f(x)的最小正周期为4.y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为三个扇形：扇形PP′A，扇形扇形与两个Rt△P′AB,Rt