五空间中的平行关系

第46讲│空间中的平行关系五空间中的平行关系第46讲│知识梳理知识梳理1．空间中直线和平面的位置关系第46讲│知识梳理2.空间中两个平面的位置关系第46讲│知识梳理没有公共点一条直线与此平面外的一条直线第46讲│知识梳理交线平行4.平面与平面平行的判定与性质第46讲│知识梳理同一条直线相交直线相交直线两条直线第46讲│知识梳理平行交线要点探究第46讲│要点探究►探究点1线面平行的证明例1[2010·福州质检]已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是A1B1和BC的中点，连接MN，AM，AN.求证：MN∥平面ACC1A1.图46－1第46讲│要点探究[解答]如图，设AC的中点为D，连接DN，A1D，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN平行且等于12AB，又∵A1M＝12A1B1，A1B1平行且等于AB，∴A1M平行且等于DN，即四边形A1DNM是平行四边形，∴A1D∥MN，又∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1.第46讲│要点探究[2010·陕西卷]如图46－2所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.第46讲│要点探究[解答](1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.第46讲│要点探究(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝12PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝2，∴EG＝22.∵S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，∴VE－ABC＝13S△ABC·EG＝13×2×22＝13.第46讲│要点探究►探究点2面面平行的证明例2如图46－3所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点．求证：平面A1EF∥平面BCGH.图46－3第46讲│要点探究[解答]△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，∴EF∥平面BCGH.又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1G平行且等于FC，∴四边形A1FCG为平行四边形．∴A1F∥GC.又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，∴A1F∥平面BCGH.又∵A1F∩EF＝F，∴平面A1EF∥平面BCGH.第46讲│要点探究►探究点4面面平行的性质的应用例4如图46－5所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D、D1分别是AC、A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1为何值时，BC1∥平面AB1D1？(2)当ADDC为何值时，平面BC1D∥平面AB1D1？图46－5第46讲│要点探究[解答](1)如图所示，取线段A1C1的中点D1，则A1D1D1C1＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，∴当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.第46讲│要点探究(2)∵平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，∴BC1∥OD1，同理AD1∥DC1，由BC1∥OD1，得A1D1D1C1＝A1OOB，由AD1∥DC1，AD∥D1C1，得ADC1D1是平行四边形，∴AD＝D1C1，A1D1＝DC，又∵A1O＝OB，∴DCAD＝A1D1D1C1＝A1OOB＝1，即当ADDC的值为1时，平面BC1D∥平面AB1D1.规律总结第46讲│规律总结1．运用直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，体现了空间问题平面化的思想；判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理，二是线面平行定义，三是面面平行的性质定理．2．运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立；证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．第46讲│规律总结3．平面与平面的平行也具有传递性．4．平行关系的相互转化