同济大学高等数学第四版26节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

一、隐函数的导数1.隐函数的概念•所谓函数y=f(x)表示的是两个变量x和y之间的关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示.•例如,y=xn,y=sinx都反映了这种对应关系．•这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的取值．用这种方式表达的函数称为显函数．•但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程F(x,y)=0来确定的．通过方程可以确定x和y的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来表示．例如方程x+y3-1=0就在区间(−∞+∞)上确定了一个隐函数y=y(x)。又如方程,x2+y2=1当限定y＞0，则在区间(-1,1)内确定了一个隐函数．一、隐函数的导数一、隐函数的导数•在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如x+y3-1=0，相应的函数关系可转化成•但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如•由所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．(,)0()Fxyxyyyx由方程确定的变量与变量之间的函数关系，称为隐函数。隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。一、隐函数的导数1.隐函数的概念然后,从这个式子中解出y,就得到隐函数的导数.例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。()yyddyeedxdx例2.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(04)(122123222yyyyyxyx得4110yxy,1,0yx代入.16110yxy57=230().xdyyyxxyyxdx0求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：46521210dydyyxdxdx6412152dyxdxy因为当x=0时，从原方程可以解得y=0012xdydx所以解将方程两边同时对x求导，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy将上式两边再对x求导得：2222sin(2cos)dyydydxdxy34sin(2cos)yy注意y是x的函数221sin0.2dyxyyydx求由方程所确定的隐函数的二阶导数例4二、对数求导法•所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是：•1.幂指函数•2.多个函数乘积形式．◆对数求导法两边取对数，得lnsinlnyxx将方程两边同时对x求导（注意y是x的函数）得：11coslnsinyxxxyx1(coslnsin)yyxxxxsin1(coslnsin)xxxxxx解法2解法1sinsinln()()xxxyxesinln(sinln)xxexxsinsin(cosln)xxxxxx转化为初等函数，直接求导法转化为隐函数，对数求导法sin0,1xyxxxy求的导数例5一般地，利用对数求导法对幂指函数求导，可得到一般公式：()()Vxyux()()()ln()vxyuxvxux练习设33333,.xxyxxy求3233ln33lnxxxyxxx32333ln33ln3lnxxxxxxxx解答1ln[ln(1)ln(2)ln(3)]3yxxx两边取对数，得两边对x求导（注意y是x的函数）得：11111()3123yyxxx31(1)(2)111()33123xxyxxxx对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。3(1)(2),3xxyyx设求例6解tanxyxy(1)求的导数tantanln()()xxxyxesin1xyxxey(2)求的导数11lnlnlnsinln(1)22xyxxe111cos12sin21xxxeyyxxe111sin1cot221xxxeyxxexxe解解tan2tan(secln)xxxxxx所以(3)解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设三、由参数方程所确定的函数的导数在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，例如，参数方程表示的中心在原点、半径为r的圆．通过参数θ可以建立y与x的对应关系：三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即例6解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即例7解.)2(;)1(,21sin,cos,,,002000的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力ttgttvytvxvxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在tt)cos()21sin(020tvgttvdxdycossin00vgtv.cossin0000vgtvdxdytt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxvcos0v00)21sin(20ttttygttvdtdyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv例8解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec423331,xtdydxytt设求解21332221ttydyxtttdxt221322ttdytdxx3331344tdyttdxx4233442ttt23131322424tttt311344tttx25318tt四、相关变化率.,,,)()(变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设dtdydtdxyxtyytxx相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例9设圆的面积为A，半径为，如果半径以3mm/s的速度增加，求面积A的增加速度。rr解因为2Ar2dAdrrdtdt所以而3drdt6dArdt所以例10解?,500./140,500率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升,,,ht500tanh求导得上式两边对tdtdhdtd5001sec2,/140秒米dtdh2sec,5002米时当h)/(14.0分弧度dtd仰角增加率米500米500例11解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻),(),(tVtht234000)(htV求导得上式两边对tdtdhhdtdV38000,/288003小时米dtdV小时米/104.0dtdh水面上升之速率060,20米时当h五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.思考题设)()(tytx，由)()(ttyx)0)((t可知)()(ttyx，对吗？思考题解答不对．xxydxdydxdtdtydx)(1)()(tttt一、填空题：1、设01552223yxyyxx确定了y是x的函数，则)1,1(dxdy=________，22dxyd________.2、曲线733xyyx在点（1，2）处的切线方程是___________.3、曲线ttyttxsincos在2t处的法线方程________.4、已知teytexttsincos,则dxdy=______；3tdxdy=______.5、设yxexy,则dxdy=________.练习题二、求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、yxey1；2、)tan(yxy；3、yxxy)00(yx，.三、用对数求导法则求下列函数的导数：1、2xxy；2、54)1()3(2xxxy；3、xexxy1sin.四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、tbytaxsincos；2、)()()(tftftytfx设)(tf存在且不为零.五、求由参数方程ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的三阶导数33dxyd.六、设)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf.七、在中午十二点正甲船的6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点正两