复变函数与积分变换24初等函数

§2.4初等函数3.1指数函数定义：)sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性质：(1)0zzee定义在全平面上，且(2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以为基本周期的周期函数(0,cossin00)xiyzeeyiye22(cos2sin2,)zkizkizzeeeekikekZ(5)lim.zze不存在(lim,lim0)zzzxzxee3.2三角函数定义：,2sinieeziziz,2cosizizeez性质：(1)Euler公式仍然成立：zizeizsincos(2)全平面解析函数，zzzzsincos,cossin且(3)各种三角恒等式仍然成立(涉及多值公式除外)(4)sinz为奇函数，cosz为偶函数(5)2以为基本周期的周期函数：sin2sin,cos2sin.()zkzzkzkZ(6)sincoszz与的模可以大于一甚至无界：例如11cos1,2eeicos.2yyeeiyy(7)定义其他的三角函数：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz3.3双曲函数定义：eeeech,sh.22zzzzzz（1）全平面解析函数：,.shzchzchzshz（2）以2i为基本周期的周期函数：2,2.shzkishzchzkichz（3）chz为偶函数,shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：例题1解方程sin1.zish解：sinsinsincoscossinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyishsin01cos12xchyxshysh:0sin0,chyxxkkZ由1因211kshysh代入11ykyk为偶数为奇数2.21niznZni3.4对数函数定义：:(0),wwezz若满足Ln(0).wzz则,wuiv记：izreuivuivieeerelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizikzki多值性lnlnargzziz-------主值支例如：性质：(1)Ln:0,zzz的定义域为(2)Lnz为无穷多值函数，每两个值相差2πi的整数倍，121212(3),0Ln()LnLn,zzzzzz：1122Ln()LnLn.zzzz(4)除去原点与负实轴,lnz在复平面内处处解析：今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.00(limarg,limargπ.)yyzzzwzzw1dde1dlnd,1)(,1)(lnzLnzzz问题：3.5幂函数定义：,Lnzwzelnarg2nziziknzelnze主值为的多值函数.n当时,lnargargnnzinzinzeeze----单值函数1n当时,1arg21zkinnnnzzez----n值函数mnmnzz----n值函数(1,)manmnn当与互质时,Im0当为无理数或时：zezLn)2arg(lnikzizeikzizeee2argln----无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且11LnzLnzzeezz221.ii例求和的值2ln1222Ln122[]1eekikie解ln22Ln22eeiiikiiikiiiiie22e,(0,1,2,).kk2,e.ii由此可见是正实数它的主值是cos(22)sin(22).(0,1,2,);kikk例3解下列方程：1)ln;2)ln1;3)ln2.26zizizi[解]021)cossin;22izeeii12)cossin;izeeie222633)cossin.662iizeeie