复变函数第1讲x

1复变函数与积分变换主讲教师：吕巍然中国石油大学数学学院2复变函数与积分变换主要内容：1.复变函数自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）.主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映射等.2.积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换.3序言预备知识、参考书主要用到高等数学的相关知识.1.西安交通大学复变函数2.南京工学院积分变换3.祝同江积分变换4.钟玉泉复变函数论学习进度、建议4序言复数的引入及其发展过程：16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程x2+1=0时就会遇到－1开平方的问题。为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.5序言•复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：1.微积分的发展；2.复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等.6序言复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、Riemann和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.7第一章复数与复变函数主要内容1、复数及其表示方法2、复数运算3、平面点集4、复变函数的连续性8注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.§1复数及其四则运算.,为实数其中的表达式，称为复数，形如yxiyxz1、复数的概念其中.12i);Re(zx实部);Im(zy虚部.ziyxiyx的共轭复数，记为为共轭9加、减：);()(212121yyixxzz乘法：);()(1221212121yxyxiyyxxzz注:.))((22yxiyxiyxzz2、复数的四则运算则设,,222111iyxziyxz除法：).0(2222221122222212121zyxyxyxiyxyyxxzzz10容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外，还经常用到以下性质：;)1(2121zzzz;)2(2121zzzz);0()()3(22121zzzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz例如，设.,,135)3(1yxiiyix求实数提示：.11,1yx11§2复数的表示法1.复平面).,(yxiyxz一对有序实数易见，).,(),(),(yxPiyxzyxyxP平面上的点一对有序实数任意点系，则在平面上取定直角坐标.)(表示点的，可用平面上坐标为复数Pyxiyxz基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为复平面.12.,)(iyxzOPOPyxPiyxz表示可用向量，点称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的度数称为复数z=x+iy的辐角(z≠0).OP向量OxyxyqPz=x+iy13.)0(Arg:,||||:22zzyxrOPz记作辐角模q.)Argtan(0xyzz时，显然q0把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.Argz=θ=θ0+2kπ，k为整数.14复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：还容易看出,argz=-argz.zzoxy(z)z1z212121212)(:zzzzzzzz三角不等式由此得152、复数的三角表示xiyxzyqrcossinxryrqq根据上式称为复数的三角表示.Oxy可以得到).sin(cosqqirz3、复数的指数表示由欧拉公式qqqsincosiei可以得到复数的指数表示式:.qirez16xyONSzP(z)z球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.4.复球面用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}成一一对应关系.17因而球面上的北极N就是复数的几何表示.xyONSzP(z)z扩充复平面的定义规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应.这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，记作C18这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面.把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面.对于∞来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为｜∞｜＝＋∞，对于其它复数z,则有｜z｜+∞.19例1.下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程.1）2zi，2）22zizi，解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，所以，1）表示圆周，(3)(3)4izizi，3）2）表示直线.203）化为实方程，为此代入iyxz，得iiyyxixyiyixx43333化简，得462yx，表示一条直线.4）关键：由,zxiyzxiy得izzyzzx22,，代入直线方程0cbyax，得0.22abiabizzc因而直线的方程为0zz，其中为实数.21121112225534zizizzzzzz,,,()().例2.令求及Im12557345:ziizi解411ii例3.求1,1iii提示：22.2:42221221221zzzzzz证明例.sincossincos)4(;)31()3();32)(21()2(;11)1(.53qqqqiiiiii部和共轭复数求下列复数的实部、虚例,,,.Rbaibazz已知练习题1?22ba则23本讲小结：1、复数的各种表示法2、复数的四则运算、共轭运算?|)||)(|(|,|||.baabba1112则若练习题