复变函数第二章第三节

定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数第三节初等多值函数定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：的特点。例，简单介绍多值函数下面以二次根式函数为nwz,根式函数为幂函数z=wn的反函数.nwz(1)根式函数的多值性.000nzw20||kinnnkkzwzze0,1,1knargzz的主辐角,),20(2/iArgzierzwrez设1.根式函数的具体数值无法确定。来说，其幅角点对于复平面上某一固定Argzz.22/)2(2/iiererwzCz连续变为将由，从而变，但其幅角却变为值虽然不的位置，环绕原点一周回到原来沿某一条闭合曲线若根式的值也保持不变。的幅角不变，因而二次置，环绕一周回到原来的位闭合曲线沿某一条不包含原点的但若zCz1(2)分出根式函数的单值解析分支.20kinnnnkkkizwzrere2arg2=0,1,1kkzkknnn12010nniiwrewre2222niwre2(1)11nnnniwre2kknkiwre从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究。wk在其定义域上解析,且1nknkkzwznz1,,1,0nk,)()(2)arg(nkzinknkezrzwnwz分成如下的n个单值函数：(3)的支点及支割线定义1设为多值函数，为一定点，作小圆周()wfza:CzarzCa()fz,0nwzz:Czr，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.nwz常用方法：从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:nwznwz0zx定义2设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.注a)支割线可以有两岸.b)单值解析分支可连续延拓到岸上.c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d)对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.上岸下岸二、对数函数1.定义.Ln,)()0(zwzfwzzew记为称为对数函数的函数满足方程2.计算公式：.π2,)(,Arg的整数倍并且每两值相差也是多值函数所以对数函数为多值函数由于izfwzivuwrezi,令iivuwreezezwLn)(2,ZkkvreuArgzZkkvru)(2),(ln实对数)()2(lnLnZkkirzw)()2(arg||ln||lnLnZkkziziArgzzz即,argArgArglnLnzzzizz取主值中如果将.LnlnLn的主值称为，记为为一单值函数，那末zzz.arglnlnzizz.Ln,,的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的zk说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数，Lnz一般不能写成lnz,Lnzez其余各值为),,2,1(2lnLnkikzz例1.)1(Ln,2Ln以及与它们相应的主值求解,22ln2Lnik因为ln2.Ln2的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Lni因为)()12(为整数kik.1)Ln(i的主值就是所以注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例2.031iez解方程解,31iez因为)31(Lniz所以kii2331lnki232ln),2,1,0(k3.对数函数的性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz,LnLnLn)2(2121zzzz且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴,,,)()3(.1)Ln(,1)(lnzzzz4.分出w=Lnz的单值解析分支从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：的支点和支割线zwLn.5),2(argln)Ln(kzirzwkk,,2,1,0kwk在定义域上解析,且1Lnkkwzz例1设定义在沿负实轴割破的平面上，且wLnz0zz与0与wLnz(1)3wi()wi()ln(arg2)kkwLnzzizk(arg)z以为支点，连接的任一（广义）简单曲线可作为其支割线.解：求值：（是下岸相应点的函数值）求的值.)2)1(arg(|1|ln3kii1kiiiiiiw25)22()2)(arg(||ln)(三、乘幂与幂函数ba1.乘幂:,,,Lnabbeaba定义为乘幂复数为任意一个为不等于零的一个复数设.Lnabbea即.,)2arg(lnLn也是多值的一般情况下，因而是多值的注：由于bakaiaazbbezwLn2.一般幂函数,)1(为整数时当bLnabbea)]2arg([lnkaiabeikbaiabe2)arg(ln,lnabe.具有单一的值ba)]2arg([lnkaiaqpbea)2arg(lnkaqpiaqpe)π2arg(sin)π2arg(coslnkaqpikaqpeaqp.)1(,,1,0,时相应的值即取个值具有qkqab,0),()2(时为互质的整数与当qqpqpb,)3(是无穷多值的。函数为无理数或复数时当bzwb3.幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的,.)(1bbbzz的各个分支在除去它是一个多值函数，它为整数外除去,b),1(/nnmb既约分数，为有理数当数是无穷多值的。的无穷阶支点，此时函点和无穷远点是为无理数或复数时，原当bzwb,,111分解成解析分支。内可以把在得到一个区域割线一条简单连续曲线作为原点和无穷远点的不是整数时，任取连接当bzwDDKb.2Argz,1ln)2ln)||lnln/11111111出发的值，即回到了它从相应地连续变动到则从，而连续变动到从周时连续变动出发按逆时针或顺时针从当一点（（zeeeezwnnzzznmniznmiznmznmnm11/阶代数支点。也称阶支点，的点是这时，称原点和无穷远n-n-zwnm例1.)(1的辐角的主值求ii解)Ln(1)1(iiieiikiie242ln21.,2,1,0k其中)]1(Arg1ln[iiiie2ln2124ike2ln21sin2ln21cos24iekln2.21)(1的辐角的主值为故iiazzeawLn4.一般指数函数它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。.Ln,zeweea指数函数的单值的取主值时，便得到通常当)1Ln(Arcsin2ziziz1.反三角函数的定义.cosArc,,coszwzwwz记作的反余弦函数为称设,2cosiwiweewz由,0122iwiwzee得,12zzeiw方程的根为两端取对数得).1Ln(cosArc2zziz同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:),1Ln(22zzi.11Ln2Arctaniziziz都是多值函数。和是多值函数，所以是二值函数，对数函数由于以上各式中zArczArczcossin12四、反三角函数和反双曲函数2.反双曲函数的定义),1Ln(Arsinh2zzz反双曲正弦),1Ln(oshAr2zzzc反双曲余弦.11Ln21Artanhzzz反双曲正切例1解).32tan(Arci求函数值)32tan(Arci)32(1)32(1Ln2iiiii53Ln2iikii231arctan52ln2.31arctan212152ln4ki.,2,1,0k其中五、具有有限个支点的情形设有任意N次多项式：mmazazazAzP)()()()(2121maaa,,,21分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为m,,,21且有,21Nm则函数nzPw)(的支点有以下结论：(1)的可能支点为和；maaa,,,21(2)当且仅当不能整除时，是的支点；niianzPw)(nzPw)((3)当且仅当不能整除时，是的支点；nNnzPw)(nm,,,21maaa,,,21(4)若能整除中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变点z沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.例1作出一个含i的区域,使得函数,)2)(1(zzzw在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在i点解可能的支点为2|1,2|3;0,1,2,.故为支点易知函数,)2)(1(zzzw因0,1,2与无穷，具体分析见下图[ArgArg(1)Arg(2)]1/22|(1)(2)|eizzzwzzz012012012012结论：0、1、2与无穷都是支点。的值,使其满足.6)1(iw支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连接0,1,2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如,可取作为割线,得到区域D。),0[其次,也可以取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的射线为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如，可取[0,1]及作为割线,得到区域。),2[1D支：可以分解成两个解析分内，或于是在取在wDDzzzz1,)2arg(,)1arg(,arg,1)1,0(|)2)(1(|]2)2arg()1arg([arg22/1kezzzwkzzzi内有或于是在区域得由条件1,06)1(DDkiw),2/1arctan)2arg(,4/3)1arg(,2/arg（iii.1010)(31arctan24)21arctan4(24iieeiw例2验证函数,)1(43zzw,|)1(|)]-Arg(13Arg[44/13zziezzw内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在(0,1)解由于4|1,4|3,4|(13),故0,1是支点，无穷远点不是支点。在区域D=C\[0,1]上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值。01，增加变，所以不，增加2/arg)1arg(2argwzz01arg(1)2argarg3/2zzw增加，不变，所以增加，01arg2arg(1)2arg(232)/42,zzw增加，也增加，所以增加回到同一个分支。结论:0,1是支点,无穷远点不是支点。因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定,0)1