必修231直线的倾斜角与斜率

3.1直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角注意：(1)直线向上方向；(2)轴的正方向。xyOl例.下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习巩固倾斜角的概念：ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA2.直线倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围为：01800axlyxo零度角ayxo锐角yxo直角yxoa钝角3.直线倾斜角的意义体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。倾斜角倾斜程度2l3lx1lyo倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线4.如何才能确定直线位置？yxola一点+倾斜角确定一条直线过一点且倾斜角为能不能确定一条直线？a（两者缺一不可）能日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量前进量升高量坡度（比）问题引入二、直线的的斜率升高量前进量ABCD设直线的倾斜程度为KABBC=ACkABBD=ADktantan1.直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率用小写字母k表示，即：aaktan例如：30a3330tank45a145tank60a360tank120=a3­=120tan=k⇒?90ka时当不存在即不存在kaa)(tan90思考：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xxyo想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？所以我们的问题是：能不能构造一个直角三角形去求？tank2、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP21PPQ如图，当α为锐角时，xyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0倾斜角是锐角时1212,xxyy且xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当α为钝角是，180,tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk02x1x1y2y倾斜角是钝角时1212,xxyy且1、当的位置对调时，值又如何呢？思考？xyo(3)),(12yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4)),(12yxQ),(111yxP),(222yxP21ppk请同学们课后推导！思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00k答：成立，因为分子为0，分母不为0，k=03、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因为分母为0。4、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点),,(111yxP)(21xx),(222yxP的直线的斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P例1.判断正误：②直线的斜率为tanβ，则它的倾斜角为β（）③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。（）①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα（）④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在（）⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大()例2如图，已知A(4,2)、B(－8,2)、C(0,－2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？yxo..........ABC解：直线AB的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk∵∴直线CA的倾斜角为锐角∴直线BC的倾斜角为钝角。∵0CAk∴直线AB的倾斜角为零度角。∵0BCk例3.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线l1,l2,l3及l4。Oxy3l1l2l4lA3A1A2A4直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？21已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBCKAB=2KBC=2问题：如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？A、B、C三点共线22判断下列三点是否在同一直线上(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7)(2)A(-1,4),B(2,1),C(-2,5)如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值(a=-3)23求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的直线l的斜率k的取值范围。解:022)13123(2mmk212111232mm21)2(32m21)2(232m由斜率公式得直线l的斜率21kk的取值范围为例4：已知直线的斜率K的变化范围为（–1，1]，求直线的倾斜角的取值范围。分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。当K∈（–1，0）时,),43(当K∈[0，1]时，]4,0[解：直线斜率K的变化范围（–1，1]=（–1，0）∪[0，1]，所以直线的倾斜角范围为),43(]4,0[练习：过点P(2,－1)作直线l与线段AB有公共点，A(－3,4),B(3,2)（１）求直线l的斜率k的范围（２）求直线l倾斜角的范围三、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：aktan3、斜率k与倾斜角之间的关系：0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在4、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a小结提高楼梯坡度核心知识•方法•思想几何意义直线的斜率斜率定义平面解析几何应用