数学物理方法第14章

第十四章保角变换法§14.1保角变换的基本性质§14.2某些常用的保角变换§14.1保角变换的基本性质用适当的变换)1.1.14()(,zzz）（即)2.1.14(),(),(),(,yyxxyxyx）（)3.1.14(0.1.114yyxxuu拉普拉斯方程），换（样子。事实上，经过变拉普拉斯方程变成什么场的的变换，描述平面标量还的研究一下经过这样较简单的边界。但是，可以将复杂的边界变成化成)4.1.14(0)()()(22222uuuuuyyxxyyxxyxyyxxyx）（）（））和（）（）（）（）（则根据（的解析函数，在所研究的区域上是如果新的自变数.4.31.4.21.4.11.3.31.3.21.3.11z0,0,0222222yyxxyyxxyyxxyxyxzz）（）（）就成为而（.1.414)5.1.14(0)(2yyxxuuz）（函数。平面相应区域上的调和成为）之后）即（函数经过代换（平面某个区域上的调和的点之外，）（）是解析函数，则除了（这是说，如果.1.214.1.1140zzz二维泊松方程这个办法也可用来求解)6.1.14(),(yxfuuyyxx）变为）下，泊松方程（（）的代换（在解析函数的边值问题。事实上，.1.614.1.114z)7.1.14()],(),,([)(12yxfzuu常数而是逐点而异的这个倍数一般说来不是倍。注意源的强度变为仍然是泊松方程，只是2)(1z的基本性质）所表征的自变数代换（现在研究有解析函数z则有））和（一小段（应的应的两曲线上各截取相一根对应的曲线。在相平面必有平面上每给一根曲线，相对应。这样，在）跟它（平面上必有一点平面上每给一点，在,,,zzzzzz)8.1.14(limlim)arg(arg00zizzezdzdz换，或保角映象变所表征的代换叫做保角解析函数曲线交角不变。因此，，所以两针方向旋转平面，两曲线都是逆时平面到。从曲线相交于相应的点平面上也有相应的两根，则在曲线相交于点平面上有两根果在的方式无关，因此，如的值与由于)()(arg0/zzzzzzdzd方向转过的角度。逆时针相对于的辐角则代表，其长度伸缩比；导数小线段元平面上的无穷变为的变换，无穷小线段元经过该解析函数所表示义：它的模代表的是，导数具有如下的几何意由此可见，解析函数的dzdddz的内域变为的外域，外域的变为的内域阶奇点，则发生：但要除去一个孤立的一上的解析函数，是区域；如的外域变为，的外域的内域变为的内域：上的解析函数，则发生是区域如果第四节）还可以证明，利用辐角原理（第二章CBB)(CBB)(llzlz§14.2某些常用的保角变换线性变换一)(线性函数）（是复常数和）（.2.114)(babazz的导数az）（放大因而形状不变。各个部分按同样比例放大率是常数，图形的是常数。这是说，长度事实上，)()()(argabzeaabzabazzai这可以分解为21arg21,,zazezabzzai像变为它的相似形。倍。线性变换只是把图放大到平面，图像平面到；从平面，图像绕原点旋转平面到从；复数平移，位移矢量对应于平面，图像作为整体而平面到从azazzabzz2211arg/幂函数和根式二)(幂函数)2.2.14()(nzz的导数1)(nnzz事实上，，交角并不保持不变。在原点，导数0)0(,arg)arg(argznzn交角保持不变。限远点，倍。在原点以外任一有放大为这是说，在原点的交角n根式)3.2.14()(nzz倍。角缩小为的逆变换，在原点的交是n/1)2.2.14(的电势分布。，试求二面角内电场中让导体充电到电势小为去一个二面角，角的大一个甚大金属导体，挖例00V601)414(3/图的角域上，二面角表现为顶角平面平面。在做横截面，把这横截面叫需研究一个把导体看做无限长，只解zz导体导体平面z空间0V0V0V导体空间平面414图问题容易解得多。的角域即半平面，，而顶角为为把顶角放大到三倍则成为面的电势分布易于解出平面是空间。在上半平，上半平面，下半平面是导体在由此可见，应作变换.3zCVu0电势分布是平面，角域中的密度。回到取决于导体表面的电荷常数zC)3(ImIm3203000yyxCVzCVCVCVu）阻挡水流（图片动，槽底有一竖立的薄研究平底水槽中的水流例a5142变换两边各有一个直角。做底的薄片，它的特征是这个问题的困难来自槽解,21zz这样，问题就容易了。去的割线两岸，经原点向平面的实轴上从的薄片变为。整个水槽底加上竖立图直角加倍成为平角，如21514hzb换点，这不大方便。做变平面的割线端点不再原1z,212hzz）割线端点移到原点（图c514的两根直线。做变换割线两岸可说是夹角为22z）实轴（图平面的为，这是说，割线两岸成倍，等于夹角变为d514/21显然是平面上的速度势u)Re(CCu回到原来的自变数，24)()()2)(Re()Re()Re()Re(22222222222222212yxhyxhyxCxyihyxChzChzCzCu24)()()2)(Re()Re()Re()Re(22222222222222212yxhyxhyxCxyihyxChzChzCzCu来计算方便。复势。利用推算出，但这计算较繁不难从至于在各点的流速22)(hzCzwuuv22***2222*)()()()(hzCzhzCzhzCdzdwxvixuyuixu的复数是对应于的薄片的地方的流速的意义，考察远离竖立为了阐明常数以计算压强体中的伯努利原理还可既已求得流速，运用流vvCpCzhChzCzzz2*22**)/(1lim)(lim分别是分量和分量这是说，流速的yxvyvx0,yxvCvC流速就是底而流动的，的地方，水是平行于槽这样，远离竖立的薄片函数（三）指数函数和对数指数函数)4.2.14(iyxzeeez）（心的圆。常数”，即以原点为圆上的“平面常数”变为虚轴的直线“的射线。平面上平行于常数”，即通过原点平面上的“常数”变为“线平面上平行于实轴的直这样，这是说，xArgyzyArgex.,平面上的极坐标网。网变为面。带域上的直角坐标的全平的带域变为而宽度为上任何一个平行于实轴平面平面上同一点。的整数倍的那些点变为相差而相同平面上，）具有纯虚数周期指数函数（222.2.412zyxzi对数函数)5.2.14(ln)ln(ln)(iArgzzezzziArgz的带域。平面上的全平面变为的主值，则就是说，取之间，与限制在把平面的正实轴作割线，值函数。沿的多是的任意整数倍，所以可以加减的辐角网。点平面上的直角坐标平面上的极坐标网变为于实轴的直线。常数”即平行平面上的“常数”变为的射线“平面上通过原点的直线。常数”，即平行于虚轴的“平面上常数”变为圆“平面上以原点为圆心的这样，）亦即）的逆变换。（是（2Im0202ImReIm,lnRe.2.514.2.414zArgzzzArgzzzArgzzzzArgzz容器的电容量。计算每单位长度圆柱电和分别为径电容器，内外圆柱的半两个同轴圆柱构成柱形例21RR3，电容量，极板的面积面积。以单位长度计算是极板的，其中容器的电容量为用国际单位制，平板电如图（，相距的宽度为，两极板电容器变为平板电容器的一段。这样，圆柱形，期主值是为直线的一段；它把外圆柱变，期主值是它把内圆柱变为直线对数函数是多值函数，我们采用对数变换构成极坐标网。这提示。等势线和电力线图圆柱电容器的横截面见解2AA/A614)/lnlnln220ln20lnlnln6140121221dbRRRRRRiArgzzza电容器的电容量。这就是每单位长度圆柱)/ln2dAC1200RR（（四）反演变换变换）（为实常数.2.614)(2RzR，则数式称为反演变换。采用指iez)7.2.14(2ieR的两变换这可以分解为前后相继)9.2.14()8.2.14(*1*221zzReRzi的模之积与同一条射线上；两者位于从原点出发的辐角相同，这是说，中与）（图变为）将变换（zzzzzz111714.2.814)10.2.14(221RRzz部变为内部。的内部变为外部，而外将圆反演，相对于实轴对称。这样与，而变为）又将变换（部。的内部，另一在此圆外之中，一个在圆与这是说，RzzzRzzz)6.2.14(.2.914111（五）分式线性变换)11.2.14()0(bcaddczbaz变换。，这样的变换没有意义同一点平面上所有的点都变为是常数，于是而十分必要，否则换。条件，因而称为分式线性变的分子分母都是线性的cazdbcadczbazdbcabcad///,//0cazzcadbczcdzzcdzcadbccadczcadbcacbda/,/)(,///)(/1.2.114/,0,0.2.614212212相继的三个变换：这是说，它可以分解成）可化为变换（是常数例，其中）是分式线性变换的特反演（变换在内的全平面上保角的包括因而分式线性变换亦是平面上的保角变换，换及反演变换都是在全上面已经说明，线性变点是圆保持为圆分式线性变换的重要特点。圆的对称点保持为对称保持为圆，而且对于分式线性变换不仅使圆Ｃ为对称点。于圆则Ａ和Ｂ两点就叫做对，＝ＲＯＢ，而且的圆心，其连线通过圆和有两点。，半径为已给出圆图参看所谓对于圆的对称点可２OAOCBARC814，求此电场中的电势。每单位长电量为。如导线均匀带电，相距为导线平行于导体平面，，另有一甚长有一甚大接地导体平面例４Qa换法求解，但这里用保角变这定解问题可用电像法满足平面上，电势在。心，问题就容易解得多变为该圆的圆点）设想把实轴变为圆，（图虚轴上的点导线则成为，接地平面成为实轴，取横截面。从横截面看解0)()(2914002222yuxayQyuxuuziaia100RR.02222axaxiaziazyyziaziaziazzRz的模，的表达式并计算代入变来，我们以实轴平面的是多大呢？既然它是由的半径不过，圆令平面的圆心变为平面的点，而平面的圆平面的实轴变为设想把0)()(211R12222uQuuza变换后，定界问题成为平面的单位圆平面的实轴变成了。这样222200000)()(ln4ln2ln2ln21ln21iayxiayxQiaziazQuzQQQu平面回到为的导线。柱内电势易知其轴线上有一均匀带电的空心圆柱，题：一个半径等于它代表这样一个物理问电容量。）。试求每单位长度的（，柱轴相距和别是两个平行圆柱，半径分例2121RRLRR5同轴圆柱。设法把这两个圆柱变为解也是对称点。是对称点，对于圆圆两点，他们对于和变为同心圆，首先要找和为把2121CCCCba.baba和是的连心线的两个交点就和Ｃ与Ｃ切线为直径作圆，这圆的公切线，以公和Ｃ做圆Ｃ可用几何方法找到。先和２１２１是同