方程的根与函数的零点

数学是有用的，学数学能提高能力，数学是自然的，数学是清楚的，学数学要摸索自己的学习方法，学数学趁年轻。人教社·普通高中课程标准实验教科书·数学1第三章函数的应用3.1函数与方程第一课时方程的根与函数的零点3教学过程2教法学法1教材分析评价与反思4对教材的理解与把握教材分析教材特点：教材地位和作用：大学课程《数学分析》中的介值定理下放到中学课程。在中学教材结构中，起着承上启下的作用。结构分析1承上启下2本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。学习函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载着建立函数与方程数学思想的任务。本节课的主要教学内容是函数零点的概念和函数零点存在的判定依据，这又为下一节“用二分法求方程近似解”以及后续的学习提供了基础。教材分析结构分析教材的地位和作用学情分析(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程的根和相应二次函数图像与x轴的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。学生具备的学生欠缺的(1)应用函数解决问题的意识还不强；(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；(3)数形结合及转化的思想意识需进一步培养教材分析学情分析结构分析知识与技能目标过程与方法目标情感与价值观目标教学目标了解函数零点的概念了解函数零点与方程根的联系掌握零点存在的判定方法提高由特殊到一般的归纳思维能力经历“探究—归纳—应用”的过程感悟由具体到抽象的研究方法体验自主探究，合作交流的乐趣培养学生严谨的科学态度激发学生的学习兴趣教材分析学情分析结构分析目标分析重点难点重点了解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。难点引导探究函数零点的概念及零点存在性原理，确定函数零点的个数。问题情境—建立模型—解释—应用和拓展讨论探究—实践体验—归纳总结—发展问题教材分析学情分析结构分析目标分析重点难点教法与学法建构主义理论：知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。教法选择教法学法教法分析教法:提出问题——引导探究——得出结论——实际应用学法选择元认知理论:学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。教法与学法教法学法教法分析学法分析学法:自主探究、合作交流、归纳法、发现法等课堂教学导图创设情景，揭示课题合作交流，形成概念初步运用，示例练习讨论探究，揭示原理教学过程教材分析教法学法巩固深化，发展思维归纳总结，整体认识课后反馈，作业布置创设情景，揭示课题方程有实根吗？你能用多少种方法解决这个问题？0322xx预案一：解方程（求根公式或因式分解）；教学过程教材分析教法学法32)(2xxxf预案三：设，画出函数图象.预案二：计算判别式的值；问题1：知识探究（一）：函数零点的概念方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..y=x2－2x+3(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0问题2：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。创设情景，揭示课题教学过程教材分析教法学法设计意图：从学生最熟悉的问题入手，对教材进行二次处理，从学生的“最近发展区”提问,为学生归纳方程与函数的关系打下基础。yx0－12112xy0－132112543问题3：上述结论对其他函数成立吗？看下列函数的图象：)5ln()3(82)2(42)1(xyyxyx议一议教学过程教材分析创设情景，揭示课题教法学法12108642-2-4-6-10-551015y=ln(x-6)y=2^x-8y=2x-4xB=3.00xC=6.00xA=2.00ABC设计意图：通过观察几个特殊函数图象，将结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。3.1.1方程的根与函数的零点合作交流，形成概念教学过程教法学法教材分析1、函数零点的概念：.)(0)(),(的零点叫做函数的实数把使对于函数xfyxxfxfy概念初步应用，示例练习设计意图：通过实例区分概念，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的第一个重点，同时也为得出下面的三个等价关系做好铺垫。练一练教学过程教法学法教材分析初步应用，示例练习有实数根方程0)()1(xf轴有交点的图象与函数xxfy)()2(有零点函数)()3(xfy问题4：以下三个结论有相关性吗？归纳：有些方程问题可以转化为函数问题来求解，函数问题有时也可转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。想一想教学过程教法学法教材分析初步应用，示例练习)44lg()()2(232)()1(22xxxfxxxf设计意图：巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求相应方程的实数根，由此渗透了方程与函数的思想，并把握住了教学重点。用一用教学过程教法学法教材分析练习1：求下列函数的零点：1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头，但我们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组说明他的行程一定曾渡过河？知识探究二：零点存在性原理讨论探究，揭示原理教学过程教法学法教材分析设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系，提炼出数学模型.问题5:在什么情况下，函数在区间（a，b）一定存在零点？)(xfⅠⅡ教学过程教法学法教材分析2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？用f（a）·f（b）0来表示设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，让学生亲历教师预设的层层递进的问题，体验由原来的图象语言转化为数学语言的语言转化的过程，体会成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣，并得出原理。讨论探究，揭示定理y))(,(afa))(,(bfbAB0x讨论探究，揭示定理教学过程教法学法教材分析零点的存在性原理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.原理说明：判定零点存在性的方法:（1）利用图象;（2）利用原理．讨论探究，揭示定理abxyOabxyOabxyO教学过程教法学法教材分析问题7：观察另三个函数图象你有什么发现？设计意图：通过小组讨论，拓展原理的内涵，培养学生的概括归纳能力。原理不可逆单调仅有一个零点零点的个数不唯一x0yab图象连续是必要的问题6：已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点吗？如果不存在，你能举出一个反例吗？x0yab巩固深化，发展思维.62ln)(.2的零点的个数求函数例xxxf分析二：该函数有几个零点？分析一：能否确定零点区间；用一用教学过程教法学法教材分析由列表和图像可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,因而仅有一个零点。解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象.........x0－2－4－6105y241086121487643219.62ln)(.2的零点的个数求函数例xxxf巩固深化，发展思维123456789-4-1.30691.09861.09865.60497.79189.945912.079414.1972x)(xf解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：①令f（x）=0,得方程②方程变形，lnx=-2x+6,拆成两个函数g（x）=lnx,h（x）=6-2x③画两函数图象④根据两函数图象交点个数即为原函数的零点个数,得结果.巩固深化，发展思维.62ln)(.2的零点的个数求函数例xxxfy=－2x+6y=lnx60x1234y1解法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：x1234f(x)－－＋＋设计意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在的区间，并能结合函数性质，判断零点个数，突破了本节课的难点.x)(xf1234567239711512262.3.4.5.)(]6,1[DCBA个上的零点至少有则函数在区间巩固深化，发展思维看你的教学过程教法学法教材分析练习2.已知函数的图象是连续不断的，有如下，对应表)(xf)(xfx巩固深化，发展思维),3.()1,1.()3,2.()2,1.()(2ln.3DeCBAxx必有一个根的区间是方程练习设计意图：方程与函数思想的体现，数形结合思想的应用。看你的教学过程教法学法教材分析?所在的一个整数区间吗你能写出以上函数零点53)(3xxxf变式训练：判断函数的零点个数？归纳整理，整体认识课堂小结知识内容思想与方法函数零点的概念函数零点存在性定理数形结合思想函数与方程的思想化归与转化的思想设计意图：对本节课所学的知识有一个完整、系统的认识；在培养概括能力的同时，也对课堂的教学效果进行反馈。教学过程教法学法教材分析课后反馈，作业布置课本P92习题3.1A组2教学过程教法学法教材分析必做题：xy0－132112－1－2－3－4..xy0－132112－1－2－3－4..xy0－132112－1－2－3－4xy0－132112－1－2－3－4....§3．1．1方程的根与函数的零点一、函数零点的概念二、三个等价关系．三、判定零点的存在性：1．存在性原理：()[,]()()0yfxabfafb在区间上的图象连续存在),(bac，使0)(cf．2．方法：（1）存在性原理（2）图象法例2求函数62ln)(xxxf的零点个数解法1……解法2……解法3……32)(2xxxf变式训练……多媒体演示板书设计1.两个探究2.三种思想学生从中深刻地领会到本节课知识形成过程中所蕴含的三种数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，同时通过精讲例题及发散变式训练的教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；在此基础上，民主和谐的课堂氛围，也培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．3.四个能力本节课通过两个探究并结合生活中的实例，使学生在“讨论探究”中掌握函数零点概念及零点存在性原理，将课堂还给学生，使课堂焕发生命的活力；教学评价与反思