电工电子学讲义031

第三章正弦交流电路§3.1正弦电压与电流在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化，这样的电路称为正弦交流电路。正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如图3-1所示。图3-1正弦波波形正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。u(i)t(a)正弦波形RUi(b)正半周RUi(c)负半周而且频率,单位Hz或KHz,MHz相位周期2ffT1)()(tSinUtum一.频率与周期u(t)t正弦波三要素UmT(t)ψ图3-2图3-2所示正弦波可写成如下三角函数表示式Srad式中Um——幅值，又称峰值ω——角频率,单位——初相位t瞬时值——正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，如i,u,e。幅值——瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。一般用带下标m的大写字母表示，如Um,Im,Em。有效值——有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。它是指当正弦交流电通过某电阻R产生的热量，如果与直流电I通过同一电阻产生的热量相等时，则这个直流电流I称为该交流电i的有效值，如图3-3所示。二.幅值与有效值IREiRu图3-3第（19）页由于正弦交流电i在一个周期T中产生的电阻热量为直流电流I在一个周期中产生的热量为根据上述定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的电流有效值为由于则代入上式同理，正弦电压的有效值为按规定有效值都用大写字母表示，如市电220V或工业用电380V，都是电力电压的有效值。TRdti02RTIPT2tSinIim2mUUTdtiTI0212212022mmTmITTItdtSinITI三.初相位例3-1已知电力电压220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。VVUUm31022022Sradf1002tSintSinUum100310则正弦量的相位记时起点t=0,这时的相位角称为初相位。例如图3-4中有三个正弦波，波形①初相位；以波形①为参考，波形②的初相位(超前)；而波形③的初相位(滞后)。图3-4正弦波的初相位ti32由于t010203在图3-5中电压的表达式初相位为零,电流i1初相位，电流i2初相位，两个电流之间的相位差tSinUum2121tt如果，i1和i2相位相同，简称同相；如果180º，i1和i2相位相反，简称反相；如果90º，称i1和i2正交。注意：相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的参考。一般常以激励信号为参考相位，令其初相位为零。由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正弦时间函数，因此分析电路时，表示各正弦电流(或电压)特征的是其有效值和初相位。正弦波的相位差tu,ii1i2u图3-512图3-6(注:该图在P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系。设有一正弦量,其波形如图3-6右边所示，左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值Um,它的初始位置(t=0时的位置)与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位，并以正弦量的角频率作逆时针方向旋转。这样，正弦量在tSinUum一.用旋转有向线段表示正弦量§3.2正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。第（20）页频率的正弦量，正弦量对时间的导数或积分也仍为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不同。因此,通常只用初始位置(t=0)的有向线段来表示一个正弦量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位，如图3-7所示。但是我们应该具有这样的某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上的投影表示出来。例如，在t=0时，,在t=t1时，.照图3-6的方法画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流(或电压)总是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一idtdtdiSinUum011tSinUum则式(3-1)式(3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可以找到如式(3-1)中括号内所表示的与其对应的复指数函数，且该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有效值(或最大值)、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与响应时,各电量的频率均相同，因此频率不必表示出来，概念：这个有向线段是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的，它在纵轴上的投影表示正弦量的瞬时值。图3-7二.用相量(复数)表示正弦电流、正弦电压的含义及方法iimtISintSinIi2正弦电流U正弦量的向量表示mU设一复指数函数iitjtISinjtICosIei222itjmtISinIeIii2]2[mI中符号表示取复数的虚部。(3-1)同理，正弦电压，用相量表示为上式中不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，用表示。要注意相量与正弦电流i只存在对应关系,而不是相等关系，它们之间的对应关系由式(3-1)确定。幅值与初相位两个要素就足以表示各电压与电流之间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数表示正弦电流，并用下列记法utUSinu2ijIemIitISini2ijIIeIi(3-2)IIujUUeUu(3-3)只要有求表示i，u的相量，及相位差，并作出相量图。IUiu例3-1已知正弦电流、正弦电压分别为解：相量图如图3-8所示，在相量图上可以很直观地看出相互之间的相位关系。向量图+j+163UI图3-8331414.14tSiniA63141.311tSinuV,263iu3103214.14iIIA6220621.311uUUVi超前u90度角第（21）页例3-2已知频率为500Hz的两个正弦电流。表示它们的相量分别为求电流的瞬时值表达式及画出相量图。AI0102AtSintSinIi32314021002111AtSintSinIi3142102222Sradf314050022解：该正弦电流的角频率为瞬时值表达式为相量图见图3-9，由相量图可以看出i2滞后i1弧度角。32向量图321I2I图3-9321001IA小结一、正弦量常用的表示方法:三角函数式,旋转矢量,复数表示。二、正弦量为什么必须用矢量或复数(即相量)表示?因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。三、这种表示方法的优点是什么?可以简化正弦交流电路的分析1i2iR3i例题3333333213321Ii)cos(:i,ii:i:)).....(60cos(10i)).......(30cos(5i:及中的如何求可以写成形式因而一正弦波仍为两个同频率正弦波之和解电流求已知mmtIiiAtAt°°60cos1030cos(5:213ttiii）利用三角函数直接相加方法一tSinttSinSint5.0cos866.053030coscos5)6060coscos10tSinSint（tSint866.0cos5.010tSinttSinttSint16.11cos33.966.8cos55.2cos33.4第（22）页2216.1133.92216.1133.933.9tSint2216.1133.916.11cosAttSinSint........50cos6.1450cos50cos6.14运用矢量运算方法二:Y0XBC603050AmI2mI1mI3)5014.6CoS(i5014.6333332211tIOCIiOBIiOAIimmmm于是根据矢量图矢量矢量矢量1055011.16+j9.33mI3:.运用复数运算方法三60210jmeI30j15eIm50cos6.146.1416.1133.9601030560cos1030cos56060cos103030cos5350213tiejSinSinjjSinjSinIIIjmmm于是复平面。的分析仅仅是代数运算而直流电路作出相应的相量图运算须采用复数正弦交流电路的分析必,,:结论§3.3电阻元件、电感元件和电容元件本节所讨论的元件，假定都是理想的元件。在直流电路中，电压、电流、功率以及由此产生的电场或磁场都不变。电感元件不存在电动势，电容元件不能通过电流，因此，电感视作短路，电容视作开路。但在交流电路中却不然。电源是交变的，各电量是交变的，因此，电感元件上存在感应电动势，电容元件上将流过电流。一.电阻元件根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流成正比关系，即当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律的相量表示式为图3-10iuR电阻元件RuiRUI第（23）页tUSinu2tISini222122tCosUItUISinuipRURIUIpdtTPT2201上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，如图3-11所示。设电阻元件吸收的瞬时功率为在一个周期内吸收的平均功率为图3-11UItui电阻元件上电压电流向量图及波形图图3-12是0时,电阻上电压、电流与瞬时功率的波形。tuiu,i0(a)0(b)ptP电阻元件的交流电路(a)电压与电流的正弦波形(b)功率波形图3-12二.电感元件现在来分析一个线性电感元件与正弦电源连接后，这个电感元件电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的转换和功率问题。假定这个线圈只具有电感L,而电阻R极小，可以忽略不计。当电感线圈中通过交流i时，其中产生自感电动势。设电流i、电动势和电压u的正方向如图3-13(a)所示。根据楞次定律得出tui00pti+-储能i+-放能i+-储能i+-放能+-+-u,i(b)(a)(c)(d)iueLLUI(a)电路图(b)电压与电流的正弦波形(c)电压与电流的向量图(d)功率波形电感元件的交流电路图3-13dtdiLeuL(3-3)设电流为则电压tSinIimLeLe比较上列两式可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压滞后90º(相位差90º)。电压u为什么比电流I越前90º？,这是因为u与i成导数的关系，可由数学推导而得。也可以根据式(3-3)和图3-13(b)这样来理解：电流变化率大，则电压u也大，小，则u也小；时，u为正，时，u为负。dtdidtdi0dtdi0dtdi也是一个正弦量。表示电压u和电流i的正弦波形如图3-13(b)所示。我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差φ为正；当电流比电压越前时，其相位差φ为负。(3-4)tLCosIdttSinIdLumm9090tSinUtLSinImm在式(3-4)中，LIUmm（3-5）LIUIUmm或由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值(或有效值)与电流的