空间对称变换

空间对称变换)()()(ˆ)(1rQrQDr−==′ψψψrQr=′|)(ˆ|1rQQDr−=|)(ˆ||1rQQDrr==′−==′rQrQDr||)(ˆ|=−rQrQD1†||)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ†11QDQDQD==−−力学量算符的变换rQrˆˆ1−=′†ˆˆˆˆDADA=′空间平移不变性与动量守恒arrQr+==′paeaDˆi)(ˆ⋅−=paeaDˆi†)(ˆ⋅=)()(ˆ)(raDrψψ=′若系统具有空间平移不变性，则系统动量守恒[]0ˆ,ˆ=pH空间反演变换rrPr−=⋅=′=′ψψ|πˆ|1†πˆπˆπˆ−==若系统反演不变，系统的宇称守恒0]πˆ,ˆ[=H0ππθ+→++++−+++→πππτ二者是两种不同的粒子还是同一种粒子？τ–θ疑难3.弱相互作用下宇称不守恒π介子自旋为零，奇宇称，赝标介子二者是同一种粒子弱相互作用中，宇称不守恒！奇宇称+τ偶宇称+θ−0§3空间转动=zyxRzyx'''rRrQr==′一、无限小转动+++=+++=+++=zyxzzzyxyyzyxxx333231232221131211'''εεεεεεεεε+=333231232221131211εεεεεεεεεIR111==−−RRRR1†ˆˆ−=RRε+=IRε−=−IR1εε−=†jiijεε−=−−−=000231323121312εεεεεεε绕轴转角nϕd为无穷小实数ijε−−−=111xyxzyzRδϕδϕδϕδϕδϕδϕkjizyxδϕδϕδϕδϕ++=角位移rnrr×+=′δϕ−−−=000231323121312εεεεεεεε+=IR+−=′−+=′+−=′yxzzzxyyzyxxxyxzyzδϕδϕδϕδϕδϕδϕ−+=′−+=′−+=′)()()(xyzzzxyyyzxxyxxzzyδϕδϕδϕδϕδϕδϕ定义nδϕ=rnRr),(δϕ=′无限小转动可用矢量描写无限小转动rRrnrr=×+=′δϕrnrrr×=−′=ϕδdrtntr×=δδϕδδr×=ωv)()()(rrRrψψψ=′=′′)()(1rRr−=′ψψ)()(ˆ)()(ˆrnDrRDψδϕψ==rnrrR×−=−δϕ1)d()(rnrr×−=′ϕψψ+×⋅∇−=)()(rnrδϕψψ()+∇−×⋅−=)i()i()(ψδϕψrnr+⋅−=)(ˆi)(rLnrψδϕψ)(eˆirLnψδϕ⋅−=LnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕLnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕ若哈密顿量具有旋转对称性(空间各向同性)[]0)(ˆ,ˆ=δϕnDH0]ˆ,ˆ[=⋅LnH系统在方向的角动量守恒n0]ˆ,ˆ[=⋅LnH若与无关，n则守恒Lˆ对称性与能级简并0]ˆ,ˆ[=AH若两力学量满足，0]ˆ,ˆ[=BHHˆ，则的本征态一般是简并的。且0]ˆ,ˆ[≠BA两个守恒量若系统的对称变换群是非阿贝尔的，则能级是简并的0)](ˆ,ˆ[=QDH对于对称变换群中的一个群元)(ˆQD=iiiEHϕϕ||ˆ设=iiHQDQDHϕϕ|ˆ)(ˆ|)(ˆˆ=iiiEHϕϕ||ˆ=iiQDEϕ|)(ˆ若与独立，能级简并iϕ|iQDϕ|)(ˆ设简并度为k，即k个独立态对应能级iEki,,2,1,|=αϕα=iiiQDEQDHϕϕ|)(ˆ|)(ˆˆ∑=αααϕϕiicQD||)(ˆ{}ikiiϕϕϕ|,,|,|21不变子空间力学量算符的变换†ˆˆˆˆDADA=′†ˆˆˆˆDrDr=′⋅+⋅−=LnrLnˆi1ˆˆi1δϕδϕ⋅−=rLnrˆ,ˆiˆδϕLnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕ⋅−==′rLnrDrDrˆ,ˆiˆˆˆˆˆ†δϕγβαcosˆcosˆcosˆˆzyxLLLLn++=⋅[]kijkjirirLˆˆ,ˆε=rnrLnˆiˆ,ˆ×−=⋅)ˆi(iˆˆrnrr×−−=′δϕrnrˆˆ×−=δϕrRˆ1−=q数变换c数变换rRrnrrrRrnrr=×+=′=×−=′−δϕδϕˆˆˆˆ1方式不同二、标量算符与矢量算符1.标量算符只有一个分量，在空间转动变换下保持不变，即：AnDAnDAˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†==′δϕδϕ[]0)(ˆ,ˆ=δϕnDALnnDˆie)d(ˆ⋅−=δϕϕ0]ˆ,ˆ[=LA标量算符与角动量算符对易2.矢量算符有三个分量，在空间转动变换下，变换关系满足ARnDAnDAˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1†−==′δϕδϕ与坐标算符变换关系相同动量算符与角动量算符都是矢量算符。空间反演，再分类成“真”与“赝”。对于矢量算符)(ˆˆ)(ˆˆ†δϕδϕnDAnDA=′⋅−=ALnAˆ,ˆiˆδϕARˆ1−=AnAˆˆ×−=δϕAnALnˆiˆ,ˆ×−=⋅×⋅−=⋅⋅AnmALnmˆiˆ,ˆ()AmnAmLnˆiˆ,ˆ⋅×=⋅⋅αe=nβe=m设[]γαβγβαεAALˆiˆ,ˆ=三、有限转动无限小转动rRrnrr=×+=′δϕ有限转动为无限小转动的叠加三维转动-反演群rQr=′}{QQ为对称变换1†=QQ1)det(†=QQ1)(det2=Q1det±=Q正当转动群1det−=Q{}IP,空间反演群群2SrrPr−=⋅=′1det+=Q非正当转动绕固定点旋转的正当转动群与行列式等于+1的正交矩阵群同构。群的三维表示)3(SO群)3(O所有正当转动都可由两类简单转动完成：nϕψ)(3eQψ−),(ψϕ→n正当转动群群)3(SO1e2e3e)()(23eQeQϕψ)(2eQϕ−将轴转到了的方向n3e)(3eQθ绕()轴转nθ3e)()()()()()(32323eQeQeQeQeQnQψϕθϕψθ−−=将轴回到原来方向n对于绕轴转的转动：nθ)(nQθ设与夹角为，在xy面的投影与的夹角为n3eϕn1eψ（1）绕轴转,)(1eQα3eα（2）绕轴转,)(2eQβ2eβ)()()()()()(32323eQeQeQeQeQnQψϕθϕψθ−−=−=1000cossin0sincos)(3αααααeQ−=βββββcos0sin010sin0cos)(2eQ−++−−−−−−++−+−−−−+=)cos1(cossin)cos1(sin)cos1(sin)cos1()cos1(cossin)cos1(sin)cos1(sin)cos1()cos1(cos)(222θγθθλθµγθµθλγθλθµγθµθθγθλµθµθλγθγθλµθλθθnQ使用中，常用欧拉角描述正当转动。ααβyxz2x1y1z1x2y2z3x3y3zγ（1）绕轴转,zα)(kQα（2）绕轴转,1yβ)(jQ′β（3）绕轴转,2zγ)(kQ′′γ)()()()(kQjQkQQαβγαβγ′′′=)()()(kQjQkQγβα=)()()()(kQjQkQQγβααβγ=−+−+−−−=βγβγββαγαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβαcossinsincossinsinsincoscossincossinsincoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscoscos2cos2cos2cosγαβϕ+=2sin2sin2sin1γαβϕλ+−=2cos2sin2sin1γαβϕµ−−=2sin2cos2sin1γαβϕγ+=欧拉角与的方向余弦的关系γβα,,nγµλ,,如果，如何处理？0=β四、转动矩阵{})(αβγQ)d(ˆϕnD同构)3(SO)2(SU同态二维幺模幺正矩阵群=dcbaU=****†dbcaU幺模1det=U1=−bcad两个方程幺正1††==UUUU1**=+ccaa1**=+ddbb0**=+dcba三个方程U只有三个独立的实参数1.群)2(SU群元)2(SU−=**abbaUU只有三个独立的实参数1**=+bbaa习惯上βαiecos⋅=aγαiesin−⋅−=b⋅⋅⋅−⋅=−−βγγβααααiiiiecosesinesinecosU2π0≤≤απ20≤≤βπ20≤≤γ对于三维空间的点),,(zyxr=定义rh⋅=σˆ−+−=zyxyxziih为零迹厄米矩阵hr→为泡利矩阵σˆ用U对h为做幺正变换1−=′UhUh1)ˆ(−⋅=UrUσr′⋅=σˆ′−′+′′−′′=zyxyxzii对应于三维空间的点),,(zyxr′′′=′)det()det(1−=′UhUh)det(h=222222zyxzyx++=′+′+′正交变换将对应的群元记为)(UQrUQr)(=′rUQrh)(ˆˆ⋅=′⋅=′σσ另12121)()(−UUhUU111221)ˆ(−−⋅=UUrUUσ()1121)(ˆ−⋅=UrUQUσrUQUQ)()(ˆ21⋅=σrUUQ)(ˆ21⋅=σ)3(SO与同态)2(SU同构吗？的群元U与的一个群元对应)ˆ(DQ或)3(SO)2(SU