量子力学的基本原理

原理一量子力学的基本原理原理二原理四原理三原理五经典物理中的力学量),(prA)ˆ,ˆ(ˆprABohm规则：{})ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(21)ˆ,ˆ(ˆxfpgpgxfpxA+=)ˆ()ˆ()ˆ,ˆ(ˆpgxfpxA=Weyl规则：∫∫+∞∞−+∞∞−+=ηηξξηξd),(dπ21),()(ipxeapxA∫∫+∞∞−+∞∞−+=ηηξξηξd),(dπ21)ˆ,ˆ(ˆ)ˆˆ(ipxeapxA∫∫+∞∞−+∞∞−+−=pepxAxapxd),(dπ21),()(iηξηξnmpxpxA=),(∫∫+∞∞−+∞∞−+−=pepxAxapxd),(dπ21),()(iηξηξ∫∫+∞∞−+∞∞−+−=pxepxpxnmddπ21)(iηξ)()i)(()i(π2ηδηξδξnm∂∂∂∂=∫∫+∞∞−+∞∞−+=ηξηξηξdd),(π21)ˆ,ˆ(ˆ)ˆiˆ(ipxeapxA∫∫+∞∞−+∞∞−+∂∂∂∂=ηξηδηξδξηξdd)()i)(()i()ˆˆ(ipxnmeGlauber公式：CBAˆ]ˆ,ˆ[=0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==CBCACABCBABAeeeeeeeˆ21ˆˆˆ21ˆˆˆˆ==−+设则∫∫+∞∞−+∞∞−+∂∂∂∂=ηξηδηξδξηξdd)()i)(()i()ˆ,ˆ(ˆ)ˆˆ(ipxnmepxA[][]ξηηξiˆi,ˆiˆ,ˆ−==pxBAξηηξηξi21ˆiˆi)ˆˆ(ieeeepxpx=+∫∫∞+∞−∞+∞−∂∂∂∂=ηξηδηξδξξηηξdd)()i)(()i()ˆ,ˆ(ˆ21iˆiˆieeepxApxnm]ˆ,ˆ[21ˆˆˆˆBABABAeeee−+=xAˆiˆξ=pBˆiˆη=1,1==nm∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−+∞∞−+∞∞−∂∂∂∂=∂∂∂∂=ηξηδηξδξηξηδηξδξξηηξξηηξdd)()i)(()i(dd)()i)(()i()ˆ,ˆ(ˆ21iˆiˆi21iˆiˆieeeeeepxApxpxnm)()1(d)()(0)(0xfxxfxxxnnnn−=−∂∂∫+∞∞−δxppxA=),(}ˆˆˆˆ{21)ˆ,ˆ(xppxpxA+=例：Bohm规则结果Weyl规则结果i21ˆˆ−=px∫+∞∞−+∂∂=ξξξδξξd)21ˆ()()i()ˆ,ˆ(ˆˆipepxAx)ˆˆˆˆ(21i21xppx−=!!!i21ˆˆ)ˆ,ˆ(ˆ−=pxpxA)ˆˆˆˆ(21ˆˆxppxpx−−=)ˆˆˆˆ(21xppx+=1,3==nm∫∫+∞∞−+∞∞−∂∂∂∂=ηξηδηξδξξηηξdd)()i)(()i(21iˆiˆi3eeepx∫+∞∞−+∂∂=ξξξδξξd)21ˆ()()i(ˆi3pexpxpxA3),(=}ˆˆˆˆ{21)ˆ,ˆ(33xppxpxA+=例：Bohm规则结果Weyl规则结果23ˆi23ˆˆxpx−=)ˆ23ˆˆi()i()1(2333xpx−−−=∫∫+∞∞−+∞∞−∂∂∂∂=ηξηδηξδξξηηξdd)()i)(()i()ˆ,ˆ(ˆ21iˆiˆieeepxApxnmi]ˆ,ˆ[=px232233ˆi6ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ4xxpxpxxpxpxpx++++=)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(41)ˆ,ˆ(ˆ3223xpxpxxpxpxpxA+++=Weyl顺序：)ˆˆˆˆˆˆˆ(11ˆˆˆ11ˆˆ10mmmlmnlmmxpxpxpxmxpxmpx++++=+=−=−∑nlmllmnnlmmxpxpxmmpxˆˆˆˆˆ)2)(1(2ˆˆ002∑∑=−=−−++=利用：Weyl规则结果+=+=+=233223223ˆi3ˆˆˆˆˆi2ˆˆˆˆˆˆiˆˆˆˆˆxxppxxxpxpxxxpxpx322323ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆi6ˆˆ4xpxpxxpxpxxpx+++=−23ˆi23ˆˆ)ˆ,ˆ(xpxpxA−=§3坐标算符与动量算符实数=ψψ|ˆ|A定理：算符为厄米算符的充要条件为Aˆψ|为任意态矢量其中*†|ˆ||ˆ|=gTffTg*|ˆ||ˆ|=ψψψψAA实数=证明：得Tˆ为厄米算符若取==ψ|||gf（1）对算符Tˆ=fTg|ˆ|AAˆˆ†=厄米算符（2）设：21λψψψ+=λ为复常数++2121|ˆ|λψψλψψA+++=22122111|ˆ||ˆ||ˆ||ˆ|λψλψψλψλψψψψAAAA实数实数⋅+⋅+⋅+=λλψψλψψλ*12*21|ˆ||ˆ|AAbAAa+⋅+⋅+=12*21|ˆ||ˆ|ψψλψψλ*2121|ˆ|++λψψλψψA++=2121|ˆ|λψψλψψAbAAa+⋅+⋅+=*12*21*|ˆ||ˆ|ψψλψψλ*1221|ˆ||ˆ|=ψψψψAA1=λi=λ分别取和得=2†1|ˆ|ψψA§3坐标算符与动量算符一、本征值与本征矢iˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[=−=xppxpx原理三iˆ]ˆ,ˆ[1−=nnpnpx)ˆ(ˆi)]ˆ(,ˆ[pfppfx∂∂=)ˆ(ˆi]ˆ),ˆ([xfxpxf∂∂=记号：332211332211321ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆexexexerererezeyexxr++=++=++==rrRˆˆˆ2⋅=nnnAnfAfˆ!)0()ˆ(0)(∑∞==定义peAˆi†)(ˆξξ−=幺正算符peAˆi)(ˆξξ=)(ˆ)(ˆˆi)](ˆ,ˆ[†††ξξξξAApAx=∂∂=+=xAxxAxAx|)(ˆ|ˆ)(ˆ|)(ˆˆ†††ξξξξξ为任意实数+=xAxxAx|)(ˆ)(|)(ˆˆ††ξξξ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆˆ†††ξξξξAxAAx=−的本征值可取一切实数xˆ连续谱坐标（位置）的可取值与经典力学一致！设：=xxxx||ˆ=pppp||ˆ1|=pp1|=xx+=ξξxxA||)(ˆ†−=ξξxxA||)(ˆ从一个本征矢出发，给出坐标的全部本征矢量的本征值可取一切实数xˆpeAˆi†)(ˆξξ−=坐标算符的升算符peAˆi)(ˆξξ=坐标算符的降算符同理定义xeBˆi†)(ˆηη=+=ηηppB||)(ˆ†xeBˆi)(ˆηη−=−=ηηppB||)(ˆ|ˆ|†ξξ−=xAx）（升降动量算符的升、降算符1||==++xxxxξξ+=xAxxAx|)(ˆ)(|)(ˆˆ††ξξξ二、坐标表象本征矢的完备性1||d=∫+∞∞−xxx1||d=∫+∞∞−ppp于是：∫+∞∞−=ξξ||d|xxx而：∫+∞∞−−=)(|d|ξδξxxx)(|ξδξ−=xx)(|xxxx−′=′δ对任意归一化的态矢量ψ|∫+∞∞−=ψψ||d|xxx=ψψ|xx∫+∞∞−=xxxψ|d连续谱的正交“归一”态矢量的坐标表象表述对任意成立ξ|归一化的态矢量在基矢上的分量。ψ|x|态矢量的坐标表象表述=ψψ|xxψ|可写成一个连续的列矩阵或行矩阵ψ|↔↔′xxxψψψψ|→→′***|xxxψψψψ)(|xxxψψψ→=态函数、波函数算符在坐标表象中的表示∫+∞∞−′′′==ψϕϕ||ˆ|d|xxAxxxx=ψϕ|ˆ|A′=′xAxAxx|ˆ|记=ψϕ|ˆ||Axx坐标算符在自身表象中的矩阵元′=′xxxxxx|ˆ|)(|xxxxxx′−=′=δ∫+∞∞−′′′=xxxxAxψϕd：xxA′在坐标表象中的矩阵元Aˆ动量算符在坐标表象中的矩阵元xeBˆi†)(ˆηη=+=ηηppB||)(ˆ†=ppBxpx0|)(ˆ||†=pxpex0||ˆi=pxpex0||i=pxpxe0|i=pxxpxAe0|)(ˆ|0ipeAˆi†)(ˆξξ−=+=ξξxxA||)(ˆ†=ppxxxpee0||0ˆii动量算符的本征态p||)(ˆ|0xxAx==xxAx0|)(ˆ|†=ppBp0|)(ˆ|†=ppBxpx0|)(ˆ||†=ppxxxpee0||0ˆii=pxxpe0|0i)(|pppp′−=′δ∫+∞∞−′=pxxpx||d∫=′−xeepxxpxpd|0|0|2ii=pepepxpx||iˆi=pppxe0|0|ˆi=ppxxxpeepx0||0|ˆii正交“归一”2|0|0|)(π2′−=pxppδ！！！π210|0=pxπ210|0=pxxpepxiπ21|=′=′xpxpxx|ˆ|∫∫′′′′=xpppppppx|d|ˆ|d|=pxxpepx0|0|i前面给出)(xpψ=动量本征态在坐标表象中的表示动量算符在坐标表象中的矩阵元)(|xpxpψ=行序号(x)连续变化的列矩阵)(|ˆ|pppppp−′=′δxpepxiπ21|=∫∫′−′=−′′′ppepppepxpxpxxdd)(π21iiδ∫∫−′=ppepxxdπ21)(i)(π2)i(π21xxx−′′∂∂−=δ)(ixxx−′′∂∂−=δ∫∫−′′∂∂−=pexpxxd)i(π21)(i)(ixxx−′∂∂=δ类似地，对动量表象)(|ppppppppp′−=′=′δ)(ipppxpp−′′∂∂=′δ)(ipppxpp′−∂∂=′δ