中考数学专题复习 ： 圆专题 合集

中考数学专题复习圆合集考点一：垂径定理例1如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确对应训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8D．12考点二：圆周角定理例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=2，求⊙O的直径．3对应训练3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．考点三：圆内接四边形的性质例3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6B．5C．3D．32对应训练3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°【聚焦中考】1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DMB．CBDBC．∠ACD=∠ADCD．OM=MD2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．3．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．5．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．32D．426．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，的直径为（）A．8B．10C．16D．207．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BEB．ADBCC．∠D=则⊙O1∠AEC2D．△ADE∽△CBE8．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°9．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．3．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，的长为．4．已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=．5．如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，则CDsinA=1，则∠D的度数是．2三、解答题1．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．2．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．【备考真题过关】一、选择题1．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π3．⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切4．如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含5．若⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=2，r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离9．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°三、解答题1．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．2.如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=4，求线段AD的长．53．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．圆中常见辅助线的作法方法1连接半径构造等腰三角形圆中的半径相等，所以连接圆心和圆上任意两个不构成直径的点都会组成等腰三角形．这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（D）A．36°B．30°C．18°D．24°2．（2019·连云港）如图，点A，B，C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．方法2遇弦添加弦心距或半径由于垂直于弦的直径平分这条弦，因此利用垂径定理求线段长时，可构造由半径、半弦a222和过圆心作垂直于弦的线段组成的直角三角形，如下图，从而得到r＝d＋（），r＝d＋2h.3．（2019·云南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（C）9A.521B.5C.1855D.24．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D.如果EF＝8，AD＝2，那么⊙O半径的长是5．方法3构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角解题在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，有以下3种常见基本图形：5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝26°，则∠C的大小为（D）A．26°B．52°C．60°D．64°︵6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（D）A．60°B．35°C．30.5°D．30°方法4构造直角或直径（1）遇直径时，常构造直径所对的圆周角，可充分利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．7．（2019·曲靖麒麟区模拟）如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠BAD＝3∠C，则∠C度数为（B）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为3．2方法5切线性质有关的辅助线——添加过切点的半径已知圆的切线时，常把切点和圆心连接起来，得到半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．9．（2019·昆明模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝30°，则∠D的度数是（A）A．30°B．60°C．40°D．25°方法6与切线判定有关的辅助线的作法（1）有公共点，连接半径，证明垂直；（2）无公共点，作垂直，证明与半径长相等．10．（2019·楚雄一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE.（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AF＝2，AE＝EF＝10，求OA的长．解：（1）证明：连接OE，则∠AOE＝2∠ACE.∵∠B＝2∠ACE，∴∠AOE＝∠B.∵∠P＝∠BAC，∴∠ACB＝∠OEP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OEP＝90°.∴OE⊥PE.又∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．（2）∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE.∴∠OAE＝∠OEA＝∠EAF＝∠AFE.∴△AEF∽△AOE.AEAF102∴＝，即＝.OAAEOA10∴OA＝5.11．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD.∴OM＝ON，即ON为⊙O的半径．∴CD与⊙O相切．（2）∵四边形ABCD为正方形，∠OMC＝90°，∴AB＝CD＝1，∠B＝90°，∠OCM＝45°.∴AC＝2，∠MOC＝∠OCM＝45°.∴MC＝OM＝OA.∴OC＝OM＋MC＝2OM＝2OA.又∵AC＝OA＋OC，∴OA＋2OA＝2.∴OA＝2－2.方法7与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明．12．如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F.求证：DE＝DB.22证明：连接BE.∵E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ABE＝∠CBE.又∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠DAC＝∠CBE＋∠CBD.∴∠BED＝∠EBD.∴DE＝DB.一、选择题1．（2019·苏州）如图，AB为⊙O的切线．切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB=90°，∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°，∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D．2.（2019·无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°APABOBOA【答案】By【解析】∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∵∠APB=40°，FEO-6∠B=∠OAB∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴=x∠AOP=25°．故选B．OBC3.（2019·自贡）