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当前位置:首页 > 临时分类 > 人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)
第6讲最短路径问题知识定位讲解用时:5分钟A、适用范围:人教版初二,基础较好;B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习最短路径问题,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,最值问题不仅使学生难以理解,也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。知识梳理讲解用时:20分钟两点之间线段最短CDABEA地到B地有3条路线A-C-D-B,A-B,A-E-B,那么选哪条路线最近呢?选A-B,因为两点之间,直线最短垂线段最短如图,点P是直线L外一点,点P与直线上各点的所有连线中,哪条最短?PC最短,因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图,已知A点、B点在直线L异侧,A在L上选一点P,使PA+PB最短.PL连接AB交直线L于点P,则PA+PB最短.B依据:两点之间:线段最短相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?两点在一条直线同侧作法:1、作B点关于直线L的对称点B’;2、连接AB’交直线L于点C;3、点C即为所求.证明:在直线L上任意选一点C’(点C’不与C重合),连接AC’、BC’、B’C’.在△AB’C’中,AC’+B’C’>AB’∴AC’+BC’>AC+BC所以AC+BC最短.课堂精讲精练【例题1】已知点A,点B都在直线l的上方,试用尺规作图在直线l上求作一点P,使得PA+PB的值最小,则下列作法正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论.解:作B关于直线l的对称点,连接这个对称点和A交直线l于P,则PA+PB的值最小,∴D的作法正确,故选:D.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短距离问题,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.教学建议:学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度:3适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习1.1】如图,直线L是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离.解:作点P关于直线L的对称点P′,连接QP′交直线L于M.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道,则所需管道最短.故选:D.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”.由于所给的条件的不同,解决方法和策略上又有所差别.教学建议:学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度:3适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【练习1.2】如图,A、B在直线l的两侧,在直线l上求一点P,使|PA﹣PB|的值最大.【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′,则PA=PA′,因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|,则当A′,B、P在一条直线上时,|PA﹣PB|的值最大.解:作点A关于直线l的对称点A′,连A′B并延长交直线l于P.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查的是作图﹣轴对称变换,熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.教学建议:学会作对称点,通过“两点之间线段最短”进行解题.难度:4适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题2】如图,A、B在直线l的同侧,在直线l上求一点P,使△PAB的周长最小.【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB,而AB是定值,故只需在直线l上找一点P,使PA+PB最小.如果设A关于l的对称点为A′,使PA+PB最小就是使PA′+PB最小.解:作法:作A关于l的对称点A′,连接A′B交l于点P.则点P就是所要求作的点;理由:在l上取不同于P的点P′,连接AP′、BP′.∵A和A′关于直线l对称,∴PA=PA′,P′A=P′A′,而A′P+BP<A′P′+BP′∴PA+BP<AP′+BP′∴AB+AP+BP<AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段,运用三角形三边关系解决.教学建议:把三角形的周长用线段表示出来,通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度:3适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习2.1】(Ⅰ)如图①,点A、B在直线l两侧,请你在直线l上画出一点P,使得PA+PB的值最小;(Ⅱ)如图②,点E、F在直线l同侧,请你在直线l上画出一点P,使得PE+PF的值最小;(Ⅲ)如图③,点M、N在直线l同侧,请你在直线l上画出两点O、P,使得OP=1cm,且MO+OP+PN的值最小.(保留作图痕迹,不写作法)【答案】见解析【解析】(I)图①,显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点;(II)图2,作E关于直线的对称点,连接FE′即可;(III)图③,画出图形,作N的对称点N′,作NQ∥直线l,NQ=1cm,连接MQ得出点O即可.解:(I)如图①,连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB最小,理由是:两点之间,线段最短;(II)如图②,先作点E关于直线l的对称点E′,再连接E′F交l于点P,则PE+PF=E′P+PF=E′F,由“两点之间,线段最短”可知,点P即为所求的点;(III)如图③,作N关于直线l的对称点N′,过N′作线段N′Q∥直线l,且线段N′Q=1cm,连接MQ,交直线l于O,在直线l上截取OP=1cm,如图,连接NP,则此时MO+OP+PN的值最小.讲解用时:5分钟解题思路:本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用,题目比较典型,第三小题有一定的难度,主要考查学生的理解能力和动手操作能力.教学建议:学会作对称点,通过“两点之间线段最短”进行解题.难度:4适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题3】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,求△CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.解:连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10.讲解用时:5分钟解题思路:本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.教学建议:想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段,利用垂线段最短进行解题.难度:4适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习3.1】如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动点,求BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小,证△ADB≌△CEB得CE=AD=5,即BF+EF=5.解:过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),由于C和B关于AD对称,则BF+EF=CF,∵等边△ABC中,BD=CD,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线(三线合一),∴C和B关于直线AD对称,∴CF=BF,即BF+EF=CF+EF=CE,∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,在△ADB和△CEB中,,∴△ADB≌△CEB(AAS),∴CE=AD=5,即BF+EF=5.故答案为:5.讲解用时:4分钟解题思路:本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,涉及到等边三角形的性质,轴对称的性质,等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.教学建议:想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段,利用垂线段最短进行解题.难度:4适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题4】如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短?【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧,但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短,但AP与BD未连起来,要用线段公理就要想办法使P与D重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的.解:如图,作BB'垂直于河岸GH,使BB′等于河宽,连接AB′,与河岸EF相交于P,作PD⊥GH,则PD∥BB′且PD=BB′,于是PDBB′为平行四边形,故PB′=BD.根据“两点之间线段最短”,AB′最短,即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.讲解用时:4分钟解题思路:此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题,要利用“两点之间线段最短”,但许多实际问题没这么简单,需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,从而转化成两点之间线段最短的问题.目前,往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化,以后还会学习一些线段转化的方法.教学建议:将3条线段进行转化成一条线段.难度:4适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习4.1】作图题(1)如图1,一个牧童从P点出发,赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线,才能使羊群走的路程最短?请在图中画出最短路线.(2)如图2,在一条河的两岸有A,B两个村庄,现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直,桥在图中用一条线段CD表示.试问:桥CD建在何处,才能使A到B的路程最短呢?请在图中画出桥CD的位置.【答案】见解析【解析】(1)把河岸看做一条直线,利用点到直线的所有连接线段中,垂直线段最短的性质即可解决问题.(2)先确定AA′=CD,且AA′∥CD,连接BA′,与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸,交另一河岸于点D,CD就是所求的桥的位置.解:(1)根据垂直线段最短的性质,即可画出这条从草地到河边最近的线路,如图1所示:(2)先确定AA′=CD,且AA′∥CD,连接BA′,与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸,交另一河岸于点D,CD就是所求的桥的位置.如图2,讲解用时:4分钟解题思路:此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用,解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.教学建议:掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度:3适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题5】如图,MN是等边三角形ABC的一条对称轴,D为AC的中点,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD最小时,∠PCD的度数是多少?【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B,所以当B、P、D三点在同一直线上时,PC+PD的值最小解:连接PB.由题意知,∵B、C关于直线MN对称,∴PB=PC,∴PC+PD=PB+PD,当B、P、D三点位于同一直线时,PC+PD取最小值,连接BD交MN于P,∵△ABC是等边三角形,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴PA=PC,∴∠PCD=∠PAD=30°讲解用时:3分钟解题思路:此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.教学建议:学会转移对称线段,利用垂线段最短进行解题.难度:3适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习5.1】已知,如图△ABC为等边三角形,高AH=10cm,P为AH上一动点,D为AB的中点,则PD+PB的最小值为多少?【答案】10cm【解析】连接PC,根据等边三角形三线合一的性质,可得PC
本文标题:人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)
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