人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用教案(4)

1.6三角形函数模型的简单应用一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型•(二)学习目标1•了解并掌握三角函数模型应用基本步骤.2•利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法.3•感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题.(三)学习重点1•运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2•从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型.(四)学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题.二、教学设计(一)课前设计1•预习任务(1)期现象的一种数学模型.(2)y=|sinx|是以二为周期的波浪形曲线.2•预习自测三角函数可以作为描述现实世界中周(1)函数y=sin(2x—)的最小正周期为_n.3(2)已知某地一天从4〜16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin(^x-—)84+20,x[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为(二)课堂设计1.知识回顾(1)参数A(A0),3(30),©对函数图象的影响.20C.(2)函数y=Asin((3)y=Asin(3X©),x^[0,2•问题探究的图象.■-■)(A0,w0)中各量的物理意义.例1如图，某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(wx+©)+b.(1)求这一天6—14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.【知识点】正弦函数的图像与性质.【数学思想】数形结合的数学思想.【解题过程】解:⑴由图可知，这段时间的最大温差是20°C.(2)从图中可以看出，从6—14时的图象是函数y=Asin(3X©)+b的半个周期的图象,11二A=—(30-10)=10,b=—(30+10)=20.2212二•••—•一=14-6,2-•Ico=—.将x=6,y=10代入上式，解得©=—.84综上,所求解析式为y=10sin「x+—)+20,x[6,14].84【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练如下图表示的是电流I与时间t的函数关系在一个周期内的图象.1（2）为了使I=Asin（cot+申）中的t在任意一段——s的时间内电流I能同时取得最大100值和最小值，那么正整数••的最小值为多少？【知识点】正弦函数的图像与性质.⑴根据图象写出I=Asin-t的解析式；【数学思想】数形结合.11【解题过程】解：⑴由图知A=300,第一个零点为（一1,0）,第二个零点为（1,0）,3001501I.1二0,V300丿150.解得=100二，，二I=300sin100二t.3I3丿（2）依题意有T——，即一W——,「_200二.故「min=629100⑷100【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2如图,设地球表面某地正午太阳高度角为QS为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是（=90°-|&3.当地夏半年S取正值，冬半年S取负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h）的楼房北面盖一新楼，要使o新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为（此时太阳直射纬度为§那么这三个量之间的关系是(=90°-I&Q.当地夏半年S取正值,冬半年§取负值•由地理知识可知，南、北回归线之间的地带可被太阳直射到，由画图易知太阳高度角从楼高ho与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:ho=htan9由地理知识可知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长•因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度—23°26'.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有/C=90°—|40°—(—23°26')|=26°34',所以MC二h〜2.OOOho.tanCtan2634'即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系，带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型的函数模型解决问题.，再根据所得时刻水深/米同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层,每层3米，楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数【数学思想】数形结合【解题过程】解：北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan[90°-(23°+23°26')]=15tan43°34'~14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据，所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例3货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:005.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)似描述这个港口的水深与时间的函数关系选用一个函数来近，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口？在港口能呆多久？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动1:引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列，思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.■肿f11!11111'A■4-036g2151S2I24Xi活动2:根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意，一天中有两个时间段可以进港.时刻水深时刻水深问题1:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？问题2:第3问中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？问题3:根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质.【数学思想】数形结合.【解题过程】解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.根据图象，可以考虑用函数y=Asin@x(D+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：A=2.5,h=5,T=12,=0,由T=—=12得-.6蛍所以这个港口的水深与时间的关系可用y=2.5sin，x+5近似描述.6由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值10:011:01:002:003:004:005:006:007:008:009:00006.257.167.507.166.255.003.752.832.502.833.750505004505413:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0000000000006.257.167.507.166.255.003.752.832.502.833.7505050045054(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y》5.5时就可以进港.n人兀令2.5sin—x+5=5.5,sin—x=0.2.662MODEMODE由计算器可得2B已0.26因此x~0.2014或66x~0.2014.解得x〜0.3848,x〜5.6152.A由函数的周期性易得：xC〜12+0.3848=12.3848,xD〜12+5.6152=17.6152.因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.⑶设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.SHIFT--:=1---sinn-----【思路点拨】引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨•同类训练设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中0乞仁24,F表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k•Asin(4■')的图象.根据上述数据，函数y二f(t)的解析式为()二tA.y=123sin（66二t.二t.二t3sin,r[0,24]B.y=12二）,t[0,24]C.y=123sin,t[0,24]D.y=123sin（—、一）,t[0,24]12122【知识点】三角函数的图像与性质.【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15,相邻两个最大值之间间隔12,故周期T=12,故-•，故，答案选A.1266【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期.【答案】A.3.课堂总结知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等；③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题•重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式.(三)课后作业基础型自主突破1.已知A,B,C△ABC的三个内角，且sinAsinBsinC,则()A.ABCC.A+B—22B.AvBvCD.B+C-【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小•【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】IsinAsinBsinC,又；三角形内角和为180°,二由函数y=sinx,x(0,n)图象可得ABC.【思路点拨】由于三角形内角和为180°,所以讨论函数