立体几何的外接球问题

百思得教育-1-a2b2立体几何中的外接球问题概述①长方形的外接圆圆心为对角线的中点，R2宽）。长方体的外接球球心为体对角线的中点，R方体的长、宽、高）。(a,b为长方形的长、a2b2c2(a,b,c为长2②三角形的外接圆圆心是底边的中垂线的交点，外接圆半径可由，余弦定a理求得2rsinA；等边三角形的外心是高的三等分点（靠底边）；直角三角形的外心是斜边中点。③三棱锥或其它几何体，其外接球球心一定在过面的外心且与该面垂直的垂线上。④过球心的截面截得的圆是大圆。⑤勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积法、体积法等平面几何性质灵活应用。1.圆柱、直棱柱、一侧棱垂直底面的棱锥设底面外接圆半径为r，高为h，则外接球半径R，见截面图中RtOAO'。2、圆锥、各侧棱都相等的棱锥（包括正三棱锥、正四棱锥）r2h24百思得教育x2y2b2x2z2c2x2y2z2z2y2a2a2b2c22外接球半径Rx2y2z22a2b2c222。注：（1）棱长为a的正四面体外接球半径Ra2a2a22246a；Or2C2ORrO11-2-B2设底面外接圆半径为r，高为H，则外接球半径RH2r22H，截面图中RtOAO1勾股定理解得。R2HR2r2RH2r2。2H3、等腰四面体补成长、宽、高分别为x,y,z的长方体，则（2）从某顶点出发，三棱长为a,b,c的直角三棱锥外接球半径Ra2b2c22。补体法：（1）正四面体；（2）等腰四面体；（3）直角三棱锥或其他。4、有两个面互相垂直的三棱锥设两垂直面的交线长为l，两垂直面的外接圆半径分别为r,r，则外接球半径Rr2d212r2r2l。41212DabccbaA百思得教育-3-d2d22dgdcos12sin125D342B13C41111125、任意三棱锥已知两面外接圆半径分别为r,r，两面外心到交线的距离分别为d,d，两面的交线长为l，已知或1212l2l2OEdr2,OEd4r24，OOd2d22dgdcosOOl2d2d22dgdcosl2OE12，R2OE21212。sin4sin241.双直角共斜边三棱锥例题精讲A【例1】如图，三棱锥ABCD中，AD5,ACCD2，求三棱锥外接球半径。【解析】由题可知：ACCD,ABBD，5AB3,BCBD4,D52134B4所以球心O为线段AD的中点，R。2CA2.双直角邻邻同侧型三棱锥【例2】如图，三棱锥ABCD中，AD5,AC42,ABBC4，4BD3,CD13，求三棱锥外接球半径。【解析】由题可知：ABBC,ABBD，21,附：大圆法（正四棱锥或准四棱锥）可求二面角，1222222-4-33221522922125545OO28MO1C232CD百思得教育过BDC的外心O1A作平面BDC的垂线，高为AB的一半BDC的外接圆半径r39，3424O外接球半径为R5。3D3RBr3.含直二面角的三棱锥13O1C4A【例3】如图，三棱锥ABCD中，ADAC45,CD8，平面ADC平面BDC，BDBC，求三棱锥外接球半径。【解析】ADC的外接圆即为大圆4545DcosDAC3,sinDAC4,8C2R55A8R5。sinDAC【例4】如图，三棱锥ABCD中，ADAC45,CD8，4545B平面ADC平面BDC，cosDBC55，求三棱锥外接球半径。8C【解析】ADC的外心为O2，半径为r52AABDC的外心为O外接球半径R，半径为r21。4BDDB【例5】如图，三棱锥ABCD中，ABD是边长为2的等边三角形，BC2，平面ABD平面BDC，DBBC，求三棱锥外接球半径。【解析】过CD的中点M作底面BDC的高，外接球半径为R。4．直角三棱锥【例6】如图，三棱锥ABCD中，AD,AC,AB两两垂直，AD23,AC25,AB2，4399535B-5-51023225C百思得教育求三棱锥外接球半径。【解析】补体法（长方体）A22外接球半径为R5、等腰四面体22232523。DB【例7】如图，三棱锥ABCD中，ABCD5，ADBC锥外接球半径。【解析】补体法（长方体），设长、宽、高分别为x,y,z，41,ACBDA，求三棱则x2y225,x2z234,y2z241x2y2z250415外接球半径为R6、正三棱锥52。2234BD34541C【例8】如图，正三棱锥ABCD中，ABACAD4锥外接球半径。，BCCDBD4，求三棱7、双等腰共底三棱锥【例9】如图，三棱锥ABCD中，ADAC2，A252725BDBC2，AB27,CD4。210D求三棱锥外接球半径。4210C34x2y2z253B-6-百思得教育1．某空间几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）【解析】还原三视图成几何体，R2S4R216。A、12B、16C、202D、24AO32DRB22O1C8、一般三棱锥【例10】如图，三棱锥ABCD中，ADAC6，BD10,BC27，AB61,CD63。D求三棱锥外接球半径。A6616B1063C27【例11】如图，三棱锥ABCD中，ADAC6，ABD10,BC27，AB61,CD63。525求三棱锥外接球半径。41DB4285C练习-7-百思得教育，212.在四面体SABC中，ABBC,ABBC为等边三角形，二面角SACB堨余弦值为2,SACSO33，O1则四面体SABC的外接球表面积为。1AO2【解析】l2,d13,d320R231233,S6。B23.如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD,ACCD，AB4,BCCD2，则三棱锥4.已知正四面体ABCD的棱长为62，M、N分别是AC、AD上的点，过MN作平面，使得AB、CD均与平行，且AB、CD到的距离分别为2,4，则正四面体ABCD的外接球被所截得的圆的面积为（）A、11B、18C、26D、27【解析】将正四面体ABCD补成一个棱长为6的正方体，则体心即外接球球心到平面的距离为1，外接球半径R33，截面圆半径r331226，截面圆面积为26，选C。5.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PDAC,AB平面PAD，且CDPD3，若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为（）A、B、2C、4D、6【解析】由题可知：PD平面ABCD，设ADCDx,PDy，球O的半径为r，则xy3，4r22x2y23x1266，S4r26，选D。S6.如图，ABCDABCDDC是棱长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，AB1111若S,A、B,C,D在同一球面上，则该球的表面积为（）DC11111A、9B、25C、49D、8116161616A1B1ABCD的外接球的表面积为【解析】AD为外接球直径，R。6,S4R224。C-8-百思得教育7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为。【解析】侧面三角形外接圆半径为5，2外接球半径R2452222241422322C2x2y2z2【解析】球的半径即为SAC的外接圆半径SASC32，sinCS221111213322R2R2239818，球的表面积为4R216，选D。A11外接球表面积为S41。8.在四面体ABCD中，ABCD接球的表面积为（）5，ACBD13，ADBC10，则该四面体的外A、63B、83C、14D、16x2y25【解析】等腰四面体，补成长宽高分别为x,y,z的长方体，则x2z213，y2z210x2y2z214，外接球表面积为S4214。9.三棱锥DABC中，DA,DB,DC两两垂直，且DA3,DB4,DC5，求此三棱锥的外接球半径。【解析】补成一个长、宽、高分别为3,4,5的长方体，则体对角线为直径，即32425252R。2210.求侧棱为45，底棱为43的正三棱锥的外接球半径。（方程法）-9-百思得教育a2b2c23242522【解析】外接球球心在高上，底面外接圆半径r42sin60O4，高H8，根据几何关系列方程：R28R242R5。11.求侧棱为2，底棱为的正四棱锥的外接球半径。（方程法、转化法）【解析】底面外接圆半径r1，高H3，根据几何关系列方程：223R23R12R3。12.三棱锥ABCD中，ABCD5,ACBD半径。34,ADBC，求此三棱锥的外接球【解析】补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体，则体对角线为直径，即R2。a2b225a3由题可知：a2c234，解得b4，所以R5。22b2c241c513.求棱长为2的正四面体的外接球半径。（方程法、比例法、补体法）【解析一】外接球球心在高且靠近底面的四等分点处，棱锥的高H6a26,R3H6；3342【解析二】补成一个边长为的正方体，则体对角线为直径，即R3g26。2214.三棱锥ABCD中，BACBDC90O，BCAD4，求此三棱锥的外接球半径。【解析】根据几何性质“直角三角形的外形在斜边的中点”及题意知：斜边BC的中点到各顶点的距离相等，即为外接球之球心，故R1BC2。215.三棱锥ABCD中，DBCBDA90O，二面角ABDC为直二面角，且AD5，BD4，BC3，求此三棱锥的外接球半径。【解析】根据空间几何的垂直关系可补成一个长、宽、高分别为3,4,5的长方体。16．三棱锥ABCD中，DBCBDA90O，M、N分别为AB、CD的中点，45242222124123-10-百思得教育3OP2BP21422233106121223AD10,BC6,BD43，MN7，求此三棱锥的外接球半径。3【解析】取BD的中点P，分别过M,N作平面ABD、平面BCD的垂线A交于一点O，则O为外接球的球心。易证明：O,M,P、N四点共面，10且O,M,P、N四点共圆，OP即为外接圆的直径。OMP5,NP3，由余弦定理可求MPN120O，5D7MN14P由正弦定理得OPsinMPN，B6R。3C17.三棱锥ABCD中，ABCABD60O,AB10,BDBC5，求此三棱锥的外接球半径。【解析】根据边角关系，易得ACBC,ADBD，则RAB5。218.三棱锥ABCD中，ABCABD90O,CBD60O,AB2,CD的外接球半径。，求此三棱锥【解析】BCD的外接圆eO'的半径为r31，外接球球心O与O'的连线，OO'平2sin60O面BCD，即OO'//AB，由于OAOB，故OO'1AB1，所以R。219.三棱锥ABCD中，BAD90O，BCD是边长为2为150O，求此三棱锥的外接球半径。【解析】BCD的外接圆圆心为O'，半径r232，2sin60O外接球球心O一定在过BD的中点M,且垂直于平面BAD的