等比数列解答题专练

等比数列解答题专练1.在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为，，数列的前项和为。（1）求数列的通项公式。（2）求最大值？2.已知函数f(x)=log2(x+m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列.（1）求实数m的值；（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.3.三个互不相同的实数是等比数列{an}中的连续三项，又依次为某一等差数列中的第2项，第9项，第44项，这三个数的和为217。(1)求这三个数；4.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分别求出{an}及{bn}的前10项和S10及T10.5.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1,数列{bn}满足b10=23,b25=－22,且(bn+1－bn+2)logma1+(bn+2－bn)logma3+(bn－bn+1)logma5=0,(n∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式(2）设cn=|bn|,求数列{cn}前n项的和Sn.6.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=(1)求证：{an+1-an}是等比数列。(2)求数列{an}的通项公式。7.已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列.（I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.8.已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足．若a2.a4.a9成等比数列，求数列{an}的通项公式。9.在等比数列中，，公比.设，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的前n项和及的通项；（3）试比较与的大小.10.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且成等比数列.(I)证明；(II)求公差的值和数列的通项公式.11.已知数列的前n项和为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证数列是等比数列。12.已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.13.在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项14.若公比为c的等比数列的首项且满足(n=3,4,…)(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)求数列的前n项和15.已知数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列（1）求证：a2,a8,a5也成等差数列（2）判断以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.16.已知等差数列,,且数列是公差为的等差数列,其中,数列是公比为的等比数列,其中(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和17.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.18.已知等比数列，，（1）求通项；（2）若，数列的前项的和为，且，求的值.19.已知是等差数列，是等比数列，且，，又.（1）求数列的通项公式和数列的通项公式；（2）设，其中，求的值.第()单元检测题参考答案（仅供参考）1B16C12.2C17B34A19B5A20C6D21B7B22D8B23D9D24A10B25A11C26C12A27A13B28C14D29D15C30CB18C因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A18.由题得，故选择C。20.命题意图与思路点拨：本题考查等差数列和等比数列的基础知识。三.解答题答案:31.（1），，又又与的等比中项为，而，，（2）是以为首项，为公差的等差数列当时，；当时，；当时，当或时，最大.32.(1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，可得2log2(2+m)=log2m+log2(6+m），即（m+2）2=m（m+6）且m0，解得m=2.（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2(b+2)=log2(b+2)2，f（a）+f（c）=log2(a+2)+log2(c+2)=log2［（a+2）（c+2）］，∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，又a、b、c是两两不相等的正数，故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4ac+4+4=b2+4b+4=(b+2)2，∴log2［（a+2）（c+2）］log2（b+2）2，即f（a）+f（c）2f（b）33.(1)7,35,175(2)n=334.35.(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则a3=a1q2,a5=a1q4,logma3=logma1+2logmq,logma5=logma1+4logmq代入已知等式，整理得：2(bn-2bn+1+bn+2)logmq=0∵q≠1,∴logmq≠0∵bn-2bn+1+bn+2=0,即2bn+1=bn+bn+2,故数列{bn}是等差数列.设其公差为d,则b25=b10+15d,∴d=-3,bn=b10+(n-10)d=23+(n-10)×(-3)=53-3n,(2)当n18时，bn0,cn=bn,36.（1）由两边同减去an+1得∴∴{an+1-an}为等比数列。其公比。（2）令上式n=1,2,…,n-1，再累加得∴。37.（Ⅰ）证明由成等差数列，得，即变形得所以（舍去）.由得所以12S3，S6，S12－S6成等比数列.（Ⅱ）解：即①①×得：所以38.∵对任意nN*，有，(1)∴当n=1时，有，解得a1=1或a1=2．………………4分当n≥2时，有(2)……6分于是，由(1)－(2)整理可得(an+an－1)(an－an－1－3)=0．……10分因为{an}的各项均为正数，所以an－an－1=3．……12分当a1=1时，an=1+3(n－1)=3n－2，此时a42=a2a9成立．当a1=2时，an=2+3(n－1)=3n－1，此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去．所以an=3n－2．39.（1）∵　，∴　为常数，∴　数列为等差数列且公差解：（2）∵　，∴　.∵　，∴　.∵　，∴　.∴　解得：∴　.∵　∴　∴　.（3）显然，当≥9时，≤0.∴　≥9时，.∵　，，∴　当时，；当或≥9时，.40.(I)证明：因成等比数列，故而是等差数列，有于是即化简得(II)解：由条件和得到由(I)，代入上式得故因此，数列的通项公式为……12分41.解:(Ⅰ)由,得∴又,即,得.(Ⅱ)当n1时,得所以是首项,公比为的等比数列.(12分)42.本小题主要考查等差数列，等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）由题设（Ⅱ）若当故若当故对于43.解：由题意得：……………1分即…………3分又…………4分又成等比数列,∴该数列的公比为，………6分所以………8分又……………………………………10分所以数列的通项为……………………………12分44.(Ⅰ)解：由题设，当时，，，由题设条件可得，因此，即解得c＝1或(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列是一个常数列，即(nN*)这时，数列的前n项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即(nN*)这时，数列的前n项和①①式两边同乘，得②①式减去②式，得所以(nN*)45.证明：（1）S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差数列……2分所以q≠1，则由公式……4分即2q6=1+q3∴2q6a1q=a1q+q3a1q,∴2a8=a2+a5所以a2,a8,a5成等差数列…………6分（2）由2q6=1+q3=－……………………………………………………………………8分要以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项是数列{an}中的第k项，必有ak－a5=a8－a2,所以所以由k是整数，所以不可能成立，所以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{an}中的一项.………………………………………………………12分46.（1）因为所以所以（2）由（1）及已知有：以上两式作差并化简即得：（3）47.∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10,∴an－an－1=5(n≥2).当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.48.（1），…………………………5分（2）是以为首项，2为公差的等差数列，49.1）由题意已知是等差数列，是等比数列，且，，所以，则等比数列的通项公式为又.解得，所以等差数列的通项公式为（2）