等差数列前n项和教学设计教案

等差数列前n项和一、教材分析“等差数列的前n项和”是人教版高中数学必修五第二章的内容，这是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题。它是在学生们学习了等差数列的定义与性质之后学习的.这节内容既是对“等差数列”的知识的运用与巩固，也为后面继续数列的学习奠定了基础。二、学情分析学生们已经灵活掌握了函数、数列等相关知识，能够运用知识解决基本问题，并且在初中阶段已经学会了特殊的数列求和。三、教学目标知识与技能：探索并掌握等差数列的前n项和公式，并能简单运用。过程与方法：在公式推导过程中，体验倒序相加的方法；体会从特殊到一般的认知规律与分类讨论的数学思想方法。情感与态度：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，培养学生求真的态度，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。四、教学重点、难点教学重点：等差数列前n项和公式的推导及运用，强调数列是一种特殊的函数模型。教学难点：倒序相加法；建立等差数列的模型并能解决实际问题。五、教学过程教学步骤复习旧知教师提问：同学们，我们来复习前几次课学过的关于等差数列的知识。我给大家提3个问题：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的基本性质。接着，教师点学生进行回答。学生甲：等差数列的定义是如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。学生乙：等差数列的通项公式：通过让学生复习旧知，勾起学生对等差数列基本知识的回忆，为后面等差数列前n项和找到知识生长点，同时平稳地过渡到下一环节。教师活动学生活动设计意图ana1(n1)d。学生丙：等差数列的基本性质当mnpq时，有：amanapaq.引入新课探究发现Ⅰ教师介绍：高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。如果要同学们来算，你能用简单的方法将它的值算出来吗？它的算法能够进行推广吗？教师：我们刚才算的都是具体的数据，那么，同学们看看这个又该怎么进行解答呢？1+2+…+n=？（为了方便，我们把1+2+…+n记为Sn）教师：同学们有没有觉得分奇偶有点麻烦，我们可不可以找个简单的方法，让学生作答：1+100=2+99=…=50+51，所以1+2+3+…+100=[(1+100)+(2+99)…+(50+51)]=101*50=5050.高斯的这个故事相信学生已经非常熟悉，能顺利解答，也让学生对接下来的探索有了信心。同学：根据刚才的两道具体数据的例子，可以想到将n分成奇偶来讨论。当n为偶数时，1+n=2+（n-1）让同学们用分奇偶的方法来求解此题，接着很nnn自然地让同=…=1，Sn=1n；222学们进行思当n为奇数时，考：看看有没有新的更Sn1n2n1简单的方n1n1n111法。引导同222学们经历探索发现的这nn1n1n1个过程，体1n222验数学中的所以Sn的值与n的奇偶性没有关系.“柳暗花明又一村”的快感与喜悦。我们在运算的时候不用分奇偶?同学们在刚才的过程中有没有找到一点灵感呢？Snnn12,两边同时乘2,得到2Snnn1n1n1n1n1n121n同学：……nn1n2112n这样，Sn我们就可以写成这两个形式的整数和相加，得到了一个很简便的方法。这个很棒的方法叫做老师通过对同学们推导出来的公式进行加工，很顺其自然的得到一种更好更新的方法，使同学们更加易于接受这个方法，更能理解这个方法的本质与内涵。探究发现Ⅱ倒序相加法，顾名思义，将式子的顺序倒过来，再相加一次。教师：既然我们刚才学习了倒序相加法，并且它对这种求和形式很有效果。那么，我们来看看这个等差数列：同学：Sn=a1a2an1an①Sn=anan1a2a1②①+②，2Sn=na1an因此，Sna1a2an=？设等差数列的前n项和为Sn。同学们在下面自己进行推导吧，我看看谁推的又快又好。教师：这里，我们成功地把a1ann2顺势采用上面讲过的倒序相加法，充分体现新课程标准中“以学生为主导”的理念。同时留下课后作业，让同学们掌握这两种方法，灵活选取合适的方法。等差数列的前n项和公式推导出来，这也是我们本节课的主要内容。在这个公式里，我们用a1和an表示Sn，同学：将通项公式那么，我们试着用a1和d表示它，得到的式子会是什么呢？同学们接着算一算。老师在这里给大家留个小作业：请大家将这个一般形式的推导过程用分奇偶的方法进行推导，看看是否和我们用倒叙相加的方法推导出来的结果是一样的。教师：既然关于等差数列前n项和的理论知识我们已经学习完毕，那么我们看看它在我们生活中有哪些应用吧。2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？教师：已知一个等差数列｛an｝前10项和是310，应用举例Ⅰ同学们将通项公式带入等差数列前n项和的公ana1n1d带入得到的求式，得到其的另外一个a1ann和公式Sn，表达式，让2同学们自己便可得出：运算得出结果，使学生nn1dSn=na1印象深刻，2知道新的公式的具体来历。学生：解答：根据题意，从2001~2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等给出一个等差数列｛an｝，表示从2001年差数列求和起各年投入的资金，其中，在生活中简单的应用，a1=500，d=50.让学生熟练那么，到2010年（n=10），投公式应用公式并且规范入的资金总额为S10=解题步骤。1050010(101)（万50=72502元）.答：从2001年~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。应用举例二前20项和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？老师要强调数列是一种特殊的函数模型：从函数观点来看，数列就是定义域为N*所对应的一系列的函数解答：由题意知S10310，S201220，将它们带入公式值，从而数列的通项公式是相应函数的解析式。当然，数列的前n项和的公式也是一种特殊的函数。（先让学生自己进行思考，在适当必要的时候进行一定的提示：等差数列的前n项和公式：SnSn=na1nn1d，得到2a1ann2nn1d210a145d310,20a190d1220.1解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6，所以Sn=4nn(n1)63n2n.2=na1给出等差数列求和公式的变式应用，加深学生对求和公式的理解与记忆，同时让学生深刻体会数列是一种特殊的函数模型的思想。确定前n项和的公式，我们要不就找a1和an，要不就找a1和d。两个未知数需要两个方程来求解。但是由于n的不同，an也会不同，这样用第一个式子的话，就会出现3个未知数，利用a20a1010d可以转化成两个未知数，和直接利用第二个式子是一样的，所以为了简便，我们直接采用第二个式子进行计算。）本节课我们探索了等差数列前n项和公式的推导过程，掌握了等差数列2个课堂小结求前n项和的公式，课后作业a1annSn，2nn1d；在推Sn=na12学生对倒序相加法进行具导过程中了解并掌握了一体操作步骤的解答。同时在教个全新的方法—倒序相加师小结时，积极回忆本节课的法（教师可让学生解释具体所学的内容。操作步骤）；并对等差数列的前n项和公式进行了应用。这次课我们是进行的等差数列前n项和的简单应用，下次课我们会进行一些更有趣的变式练习。同学们可以自己先想想P44的思考题，下节课我们再从例子中找到正确答案.老师布置作业：练习：1、2习题：1、2、3附加：用分奇偶(利用等差中项的性质)的方法对等差数列的前n项和公式进行推导。为本次课做个小结，给同学们梳理本节课的知识要点。同时给出同学们需要思考的内容，加深学生对等差数列前n项和公式的理解。检验同学们对知识的掌握程度，同时巩固所学的知识。