5.3《等比数列及其前n项和》

5．3　等比数列及其前n项和一、选择题1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16解析：由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1，两式相除得，＝＝16，∴q2＝16，∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.答案：B2．在等比数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝(　　)A．2n＋1－2　　　　　　B．3nC．2nD．3n－1解析：∵数列{an}为等比数列，设其公比为q，则an＝2qn－1.∵数列{an＋1}也是等比数列，∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)．∴a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2.∴an＋an＋2＝2an＋1.∴an(1＋q2－2q)＝0，得q＝1，即an＝2.∴Sn＝2n.答案：C3．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101＝(　　)A．200　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．0解析：设等比数列{an}的公比为q，因为对任意正整数，有an＋2an2＝0，因为a≠0，所以1＋2q＋q2＝0，q＋a＝0，a＋2aq＋aq＋1n＋2nnnn＝－1，S101＝＝2，选择B.答案：B4．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，那么数列{an}的通项公式是(　　)A．an＝2nB．an＝(n＋1)·2nC．an＝(n－1)·2nD．an＝3n－1解析：由an＋1＝2an＋2n＋1得－＝1，所以数列{}是以首项为2，公差等于1的等差数列，即＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)·2n.故选B.答案：B5．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n.∵an＞0，∴an＝2n.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.答案：C6．数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2an＋1＝1＋log2an，若S10＝10，则a11＋a12＋…＋a20的值等于(　　)A．10×211B．10×210C．11×211D．11×210解析：log2an＋1＝1＋log2an，则an＋1＝2an，数列{an}是公比q＝2的等比数列，a11＋a12＋…＋a20＝q10S10＝10×210.答案：B二、填空题7．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝__________.解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.答案：28．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝__________；前8项的和S8＝__________.(用数字作答)．解析：由条件an＋1＝2an，a1＝1，知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，a5＝24＝16，S8＝＝255.答案：16　2559．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.解析：∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，∴＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.答案：4n－1三、解答题10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．解析：(1)因为an＝×()n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2，所以S1＋＝，＝＝2.因此{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．12．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较＋＋＋…＋与的大小．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知()2＝·，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝a1＝a.故通项公式an＝na.(2)记Tn＝＋＋…＋，因为a2n＝2na，所以Tn＝(＋＋…＋)＝·＝[1－()n]．从而，当a＞0时，Tn＜；当a＜0时，n＞.T