高速角接触球轴承变形和接触角的数值分析与求解

3111200811()JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVol.31No.11Nov.2008:2007211230;:2007212220:张家库(1982-),男,河南信阳人,合肥工业大学硕士生;李志远(1949-),男,安徽蚌埠人,合肥工业大学教授,博士生导师;张朝煌(1938-),男,江苏苏州人,洛阳轴承研究所教授级高级工程师.高速角接触球轴承变形和接触角的数值分析与求解1,1,2(1.合肥工业大学机械与汽车工程学院,安徽合肥230009;2.洛阳轴承研究所,河南洛阳471039):文章在Hertz接触理论的基础上,应用Harris滚动轴承分析理论,针对球轴承,分析了其内部变形、接触角及其求解方法;并以角接触球轴承为例,应用哈姆罗克Hertz接触的简化解,对角接触球轴承内部变形进行了数值分析与计算,以便于高速轴承和轴系的量化分析,为球轴承的设计计算以及主轴的设计提供了重要参数。:Hertz接触理论;角接触球轴承;数值分析:TH133133:A:100325060(2008)1121764204Numericalanalysisofthedeformationandangleofcontactofthehighspeed2angularcontactballbearingZHANGJia2ku1,LIZhi2yuan1,ZHANGChao2huang2(1.SchoolofMachineryandAutomobileEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;2.LuoyangResearchInsti2tuteofBearing,Luoyang471039,China)Abstract:BasedontheHertzcontacttheoryandtherollingbearinganalysistheoryofHarris,numeri2calanalysisismadeofthedeformationandangleofcontactofangularcontactballbearing.Thecalcu2latingmethodisalsogiven.ThesimplifiedHertzsolutionofHamrockisappliedtothedeformationa2nalysisofanexampleoftheangularcontactballbearingsoastoprovideabasisforthequantificationanalysisandsoftwaredevelopmentofthehigh2speedbearingandspindle.Thepapergivestheimpor2tantparametersforthedesignandcalculatingofthespindleandballbearing.Keywords:Hertzcontacttheory;angularcontactballbearing;numericalanalysis0滚动轴承广泛应用于各种机械装备中,其支承性能对主机的静态及动态特性有较大影响,在进行系统分析时,通常都要对支承部位轴承的受载变形做出必要的分析。滚动轴承有一组滚动体和内、外圈接触,属于多体接触组件,内部受载变形为非线性,较为复杂。以往的机械系统分析,由于计算工具与计算方法落后,对轴承只能借助于手册进行简单的简化分析,计算精度不高。随着计算机技术与数值分析方法的发展与完善,轴承内部的受载变形已能够实现较为精确的计算,从而也能得出与实际更为接近的分析结果[1]。为了提高机床主轴轴承的承载能力和刚度,角接触球轴承一般以成对或多联组配在施加预载荷的情况下使用。在多联角接触球轴承的组配中,组配轴承组的预载荷和变形与单套轴承的测量预载荷和变形有密切的关系[2]。接触应力与变形和载荷分布的计算是滚动轴承的分析基础,需要求解含有第一类和第二类完全椭圆积分等的超越方程[3],而布鲁和哈姆罗克的简化方程也有较好的计算效果,本文采用了这种计算方法。1滚动体与滚道之间的弹性接触变形,常采用Hertz变形公式计算求得。轴承内部的变形主要是轴向变形Da、径向变形Dr和角变形H,事实上它们就是轴承的主位移。在许多应用场合,它们对机械系统的稳定,对其他部件的动载荷以及系统的运转精度可能有至关重要的作用[4]。在实际计算分析中,针对第j个滚动体,有滚动体与内圈的法向趋近量Dij和滚动体与外圈的法向趋近量Doj。111Da、DrH静态时,因为没有内外圈滚道接触角的变化,分析轴承的变形Da、Dr和H以及滚动体与内外圈的法向趋近量Dij和Doj较方便。对于球轴承,在外圈固定情况下,内圈的位移Da、Dr和H如图1所示。在联合载荷的作用下,即已知轴向力Fa、径向力Fr和作用力矩M,由力平衡方程可以求得轴承的各个变形。在滚动体的任意角位置U处,联合载荷下的平衡方程为1Fa-Kn(BD)115EU=?PU=0[(sinA0+Da+Ri€HcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12-1115(sinA0+Da+Ri€HcosU)[(sinA0+Da+Ri€HcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12=0(1)Fr-Kn(BD)115EU=?PU=0[(sinA0+Da+RiHcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12-1115(cosA0+DrcosU)cosU[(sinA0+Da+RiHcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12=0(2)M-12dmKn(BD)115EU=?PU=0[(sinA0+Da+RiHcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12-1115(sinA0+Da+RiHcosU)cosU[(sinA0+Da+RiHcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12(3)简单的基本参数在此省略,哈姆罗克关于载荷变形系数的关系式如下:Kn=1K-23i+K-23o32(4)Ki=PED0151103392fi(2fi-1)(1-Ci)016363115277+016023ln2fi(2fi-1)(1-Ci)115210006+015968(2fi-1)(1-Ci)fi4-1fi+2Ci1-Ci12(5)Ko=PED0151103392fo(2fo-1)(1+Co)016363115277+016023ln2fo(2fo-1)(1+Co)115210006+015968(2fo-1)(1+Co)fo4-1fo-2Co1+Co12(6)至此由(1)~(3)式求解非线性方程组,可以求得轴承的轴向变形Da、径向变形Dr和角变形H。112在任意滚动体位置W处,其工作接触角为A,该接触角可由下式确定sinA=sinA0+…Da+Ri€HcosW[(sinA0+…Da+Ri€HcosW)2+(cosA0+…DrcosW)2]12(7)或cosA=cosA0+DrcosW[(sinA0+Da+Ri€HcosW)2+(cosA0+…DrcosW)2]12(8)113DijDoj利用Hertz弹性接触理论可对轴承内部的接触问题进行计算,在其弹性理论假设条件下可求得各个滚珠在载荷作用下与内外圈接触时的法向变形,即Dij=92P2E2D1/3115277+016023ln2fi(2fi-1)(1-Ci)@176511,:4-1fi+2Ci1-Ci1106892fi(2fi-1)(1-Ci)11272110003+015968(2fi-1)(1-Ci)2fi1/3Q2/3nj(9)Doj=92P2E2D1/3115277+016023ln2fo(2fo-1)(1+Co)@4-1fo-2Co1+Co1106892fo(2fo-1)(1+Co)11272110003+015968(2fo-1)(1+Co)2fo1/3Q2/3nj(10)其中,Qnj表示沿接触角A作用的法向载荷。已知内外圈的法向位移Dnj为Dnj=BD[(sinA0+Da+Ri€HcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12-1(11)则得Qnj=Kn(BD)115[(sinA0+Da+Ri€HcosU)2+(cosA0+DrcosU)2]12-1115(12)至此由(9),(10)式可得第j个滚动体j的法向趋近量Dij和Doj。2高速主轴是现代机床的重要特征,转速提高导致惯性效应增强,滚动体离心力和陀螺力矩效应显著增大,接触角也随之发生变化[5],内圈滚道的接触角Aij增大,外圈滚道的接触角Aoj减小,使得载荷和变形关系特性变得复杂,也给求解带来一定的困难。所以,对变形进行数值分析是基于外圈沟道控制理论的,而且没有考虑润滑和轴承热位移等因素[6]。为了便于分析,图2所示引用Harris关于内外沟道曲率中心之间的轴向距离变量A1j径向距离变量A2jJones的新变量X1j(球中心和外圈沟道曲率中心之间距离的轴向投影)和X2j(球中心和外圈沟道曲率中心之间距离的径向投影)。遵循/外圈沟道控制0理论,设定系数Koj=2,Kij=0,得到滚动体公转角速度与沟道角速度比Xm/X和滚动体自转角速度与沟道角速度比XR/X。如图3所示,分析滚动体受力平衡,计算滚动体所受离心力和陀螺力矩,可在任一滚动体j处列出求解方程。图2中,1表示内圈道曲线中心最终位置;2表示内圈沟道曲线中心初始位置;3表示球中心最终位置;4表示球中心初始位置;5表示外圈沟道曲率中心(固定)。211基本参数A1j、A2j、X1j、X2j、Aij、Aoj之间的基本关系式在此省略,具体说明可参考相关资料。滚动体受力平衡方程如下:2MgjX2jD-*ojD115ojX1j(fo-015)D+Doj+*ijD115ij(A1j-X1j)(fi-015)D+Dij=0(13)*ojD115ojX2j+2MgjX1jD(fo-015)D+Doj-*ijD115ij(A2j-X2j)(fi-015)D+Dij-Fcj=0(14)1766()31212Da、Dr和H已由静态求解得到,则A1j与A2j只与角位置Wj有关[7]。由以上关系式和方程可以发现,关键是求解一系列的非线性方程组。比较各种求解非线性方程组的方法,应用牛顿拉弗逊法具有较好的效果。在求解分析过程中,减少变量个数,降低了雅可比矩阵的维数,使其逆矩阵运算非常简单,大大地减小求解的难度。Dij、Doj、X1j、X2j、Aij和Aoj这6个变量关系复杂,给非线性方程组的求解带来了很大难度,本文推导出以下关系式:Dij=A1jcosAoj-A2jsinAojsin(Aij-Aoj)-(fi-015)DDoj=A2jsinAij-A1jcosAijsin(Aij-Aoj)-(fo-015)DX1j=A2jtanAij-A1jtanAij-tanAoj#tanAojX2j=A2jtanAij-A1jtanAij-tanAoj至此,上述非线性方程组(13)式与(14)式只有2个变量Aij和Aoj,选取合适的初值,方程较易求解。由此解得接触角Aij和Aoj,则方程其余的变量都得到了。3为了验证上述数值分析与计算方法,以单套轴承静态参数计算为例加以说明。动态计算参数过多,限于篇幅在此不再举例说明。VEA35型轴承参数表如下:轴承外径6210mm;轴承内径3510mm;内圈沟道曲率系数fi为0155;钢泊松比T=0126;外圈沟道曲率系数fo为0153;另球密度为7180kg/mm3;弹簧模量315000MPa;球数Z为16;初始接触角40b;钢球直径7194mm外界条件:轴向力Fa=500N,径向力Fr=275N,力矩M=0。计算结果见表1所列。2角位置/(b)Ai/Ao(Qi/Qo)/N(qi/qo)/MPa(Di/Do)/Lm0104013/40135613/5613102317/127316116/11822154013/40135517/5517101918/1268