第五章动态电路的时域分析§59激励为任意波形的响应与卷

第五章动态电路的时域分析90§5.9激励为任意波形的响应与卷积积分5.9.1卷积积分首先，设两个相同函数)(1tf和)(2tf，且0t时两函数的值均为零，则)(1tf与)(2tf的卷积通常用)()(21tftf来表示，并由下列积分形式来定义：dftftftft)()()()(20121（5-65）1.交换律如果令t，则dd，则有dtftftftttf021201)()()()(dftft)()(102=)(*)(12ttff即)()()()(1221tftftftf（5-66）2.分配律)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf（5-67）3.结合律)]()([)()()]()([321321tftftftftftf（5-68）4.卷积的微分dttdftfdttdftfdttftfd)()()()()]()([122121（5-69）卷积的积分dffdftfdffttt)()()()()()(122121（5-70）)()()(*)(2121tftfdfdttdft（5-71）5.9.2任意输入的零状态响应如果电路的激励)(te的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（0t，t），表示从0t到t之间的任意时刻。对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt的冲激激励波的叠加。首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示)(e。把时间区间(0t，t)分成相等的几段，每段宽度为△，即kktttttt11201。因此)(e可以用图示中的阶梯曲线来近似表示，即可看成一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单第五章动态电路的时域分析91位脉冲函数，即)(p和)(ktp来表示。因此，可以用上述的矩形脉冲表示)(e，即)()()()()()()(221100tptetptetptee)()(...)()(...11nnkktptetpte)()(10knkktpte（5-78）e0t1t1ntto图6-52)(e的阶梯形近似描述放电在单位矩形脉冲)(p激励下的零状态响应为)（h，对每一延迟的矩形脉冲)(ktp,在时刻t观察到的相应的响应将为）（ktth，根据线性电路的齐次定理对)()(kktpte的响应将是)()(kktthte。所以按叠加定理，式（5-78）的激励所产生的响应为10)()()(nkkktthtetr为了保证)(e的阶梯矩形近似更接近真实)(e，令0t到t区间内的脉冲数不断的增加。当t时，0，每个单位矩形脉冲变成冲激函数，h变成了冲激响应h，e变成了原来的激励)(te，响应)(tr则变成电路对应原激励的零状态响应)(tr，同时上式的求和也变成了积分，kt变成了连续变量，则变成了d。于是有dthtetrttk)()()(0其中0t为任意激励施加的时刻，t为待求响应所对应的时刻。特别地，当00t时，有dthtetrtk)()()(0（5-79）或dhtetrt0)()()(（5-80）式（5-79）和式（5-80）所示的积分就是卷积的积分。因此只要知道电路的冲激响应，对于任意的激励函数)(te的作用，都可根据卷积的积分求电路的零状态响应。