2021年8月广东省七校联合体高三上第一次联考数学试卷原版答案解析版

第1页（共18页）2021-2022学年广东省七校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|4}Axx，{|0}Bxx，则(AB)A．{|02}xxB．{|2}xxC．{|20}xx„D．{|04}xx2．（5分）已知复数z满足(1)(1)izi，则复数z的模||(z)A．0B．1C．2D．23．（5分）做志愿者参与社区服务是学生参加社会公益活动的主要途径．某个星期日有4名学生志愿者随机平均分配到A、B两个社区进行垃圾分类宣传活动，则其中甲乙两人都被分配到A社区的概率是()A．12B．14C．16D．134．（5分）二项式62()xx展开式中常数项是()A．?20B．?20C．?402D．?4025．（5分）函数12()cos12xxfxx的图像的大致形状是()A．B．C．D．6．（5分）已知实数，，“2k，kZ”是“sin()sinsin”的()66666666666A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75，冬至前后正午太阳高度角约为30．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为()第2页（共18页）A．3B．4C．6(31)D．3(31)8．（5分）已知点P在直线4xy上，过点P作圆22:4Oxy的两条切线，切点分别为A，B，则点(3,2)M到直线AB距离的最大值为()A．2B．3C．2D．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．（5分）已知函数()cos()cos()44fxxx，则()A．()fx是周期为的周期函数B．()fx的值域是[1，1]C．()fx在[0，]2上单调递增D．将()fx的图像向左平移4个单位长度后，可得一个奇函数的图像10．（5分）设1F，2F分别是双曲线22:1xyCstst的左、右焦点，且12||8FF，则下列结论正确的是()A．8sB．t的取值范围是(8,8)C．1F到渐近线的距离随着t的增大而减小D．当4t时，C的实轴长是虚轴长的3倍11．（5分）已知两个不为零的实数x，y满足xy，则下列结论正确的是()A．||31xyB．2xyyC．||||xxyyD．11xyeexy12．（5分）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是()0fx的根，选取0x作为r的初始近似值，过点0(x，0())fx作曲线()yfx的切线000:()()()lyfxfxxx，第3页（共18页）则l与x轴的交点的横坐标01000()(()0)()fxxxfxfx，称1x是r的一次近似值；过点1(x，1())fx作曲线()yfx的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为2x，称2x是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中1()(()0)()nnnnnfxxxfxfx，称1nx是r的1n次近似值，这种求方程()0fx近似解的方法称为牛顿迭代法．若使用该方法求方程22x的近似解，则()A．若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为1712B．若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为1712C．0312400123()()()()()()()()fxfxfxfxxxfxfxfxfxD．0312400123()()()()()()()()fxfxfxfxxxfxfxfxfx三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()2cosfxxx在点(,)2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是．14．（5分）试写出一个离心率为12，焦点在y轴上的椭圆的标准方程．15．（5分）向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e为与c同方向的单位向量，则()abe．第4页（共18页）16．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD的四个直角三角形中，BD是RtBAD和RtBCD的斜边，且所有直角三角形斜边长分别为5AD，13BC，14BD，它的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①422aa，②324bb，③36T这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中正整数k存在，求k的值；若问题中的正整数k不存在，说明理由．问题：已知等差数列{}na的前n项和为nS，各项为正的等比数列{}nb的前n项和为nT，1122TS，32ST，且______．是否存在正整数k使562kTST„„成立？18．（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3sincosacBbC，点D为AB边上一点，22ADBD，7CD．（1）求B；（2）求ABC的面积．19．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s．（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx…，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120ABC，1AB，4BC，15PA，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD．第5页（共18页）（Ⅰ）证明：ABPM；（Ⅱ）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．21．（12分）已知函数324()(1)3fxxaxax．（Ⅰ）若()fx在(2,)上有极值，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：当12a时，过点(0,1)P只有一条直线与()fx的图象相切．22．（12分）如图所示，过抛物线24yx的焦点F作互相垂直的直线1l，2l，1l交抛物线于A，B两点(A在x轴上方），2l交抛物线于C，D两点，交其准线于点N．（Ⅰ）设AB的中点为M，求证：MN垂直于y轴；（Ⅱ）若直线AN与x轴交于Q，求AQB面积的最小值．第6页（共18页）2021-2022学年广东省七校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：{|24}Axx，{|0}Bxx，{|02}ABxx．故选：A．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据复数模长的定义与运算性质，计算即可．【解答】解：复数z满足(1)(1)izi，所以|1||||1|izi，即2||2z，解得复数z的模为||1z．故选：B．【点评】本题考查了复数模长的计算问题，是基础题．3．【分析】先求出基本事件总数，再求出其中甲乙两人都被分配到A社区包含的基本事件个数，由此能求出其中甲乙两人都被分配到A社区的概率．【解答】解：某个星期日有4名学生志愿者随机平均分配到A、B两个社区进行垃圾分类宣传活动，基本事件总数222422226CCnAA，其中甲乙两人都被分配到A社区包含的基本事件个数22221mCC，则其中甲乙两人都被分配到A社区的概率是16mPn．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数学应用意识等核心素养，是基础题．4．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为0，即可求出对应的常数项．【解答】解：二项式62()xx展开式的通项公式为6621662()(2)rrrrrrrTCxCxx，第7页（共18页）令620r，得3r，所以常数项为336(2)402C．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中求常数项的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．5．【分析】利用函数的奇偶性排除选项B，C，由特殊值的函数值的正负，排除选项A，即可得到答案．【解答】解：函数12()cos12xxfxx，定义域为R，又1221()cos()cos()1221xxxxfxxxfx，则函数()fx为奇函数，图象关于原点对称，故选项B，C错误；当(0,)2x时，()0fx，故选项A错误．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．6．【分析】由“2()kkZ”右边sin()0，左边sinsinsinsin(2)0k．即可判断出正误．反之：若sin()sinsin，可得2sincos2sincos2222，可得：sin02或coscos022，解出即可判断出关系．【解答】解：由“2()kkZ”sin()0，sinsinsinsin(2)sinsin0k．sin()sinsin．反之不成立：若sin()sinsin，则2sincos2sincos2222，可得：sin(coscos)0222，可得：2k，或222k．化为：2k，或2k，或2k，()kZ．“2()kkZ”是“sin()sinsin”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、三角函数求值、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】由题意利用正弦定理求出AD的值，在直角三角形ADB中，根据sinABADADB，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【解答】解：如图：由题意可得30FCD，75ADE，24CD，第8页（共18页）18075105ADC，1803010545CAD．ACD中，由正弦定理可得24sin45sin30AD，122AD．直角三角形ADB中，sin122sin(9075)ABADADB122sin(4530)2321122(sin45cos30cos45sin30)122()6362222，AB的长度为6(36)米，故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，两角差的正弦公式，属于中档题．8．【分析】根据题意，设(,)Pab，