2021年12月重庆市强基联合体高三上质检数学试卷原版点评解析版

第1页（共25页）2020-2021学年重庆市强基联合体高三（上）质检数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合{|31}xAxR，{|1}ByRy，则(AB)A．(1,)B．(1,0)C．RD．2．（5分）若2izi（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余税金的15，第5关收税金为剩余税金的16”5关所税金之和，恰好重1斤．则在此问题中，第3关收税金为()斤A．110B．310C．13D．9104．（5分）已知抛物线2:4Cyx的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若||4||FPFQ，则||(FQ)A．4B．52C．32或52D．325．（5分）设正实数a，b，c分别满足452223,log,logabcabc，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．cbaC．bacD．abc6．（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22222cossin2coscosaaBbAabAB，则ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）已知定义在R上的奇函数()fx，且其图象是连续不断的，满足()30fx，则不等式(1)322fxlnxx的解集为()A．(0,)eB．(,)eC．(0,1)D．(1,)8．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD的内接正MNR（即M，N，R三点落在正方形三条边上）的面积最大值为()A．8312B．3C．23D．1238第2页（共25页）二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（5分）下列叙述正确的是()A．“1a”是“1:10laxy与2:30laxy垂直”的充分不必要条件B．函数3()(0)3fxxxx的最小值233C．若命题:pxR，1xex…，则000:,1xpxRexD．若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD10．（5分）已知函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4且()fx的图象关于点(,0)12对称，则下列判断错误的是()A．函数()fx的周期为2B．要得到函数()fx的图象，只需将3cos4yx的图象向右平移6个单位C．5(,)2424是()fx的一个单调减区间D．()fx在[0，]上有且只有3个极值点11．（5分）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点为1F，2F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点．若在C的左支上存在点P，使点P与点2F关于直线l对称，则下列结论正确的是()A．1||2PFaB．2POF的面积为abC．双曲线C的离心率为5D．直线l的方程是30xy12．（5分）已知22()(),(),()fxfxxlnxgxfxx是()fx的导函数，则下列结论正确的是()A．()fx在12(,)e上单调递增B．()gx在(0,)上两个零点C．当120xxe时，221212()()()mxxfxfx恒成立，则32m…D．若函数()()hxfxax只有一个极值点，则实数0a…三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知函数31log(3),0()3,0xxxfxx…，则3(6)(log12)ff．第3页（共25页）14．（5分）已知非零向量,ab满足：(2)(2)abab且(3)abb，则向量a与b的夹角为．15．（5分）已知数列{}na的通项公式2*sin,4nnanN，其前n项和为nS，则2020S．16．（5分）在平面直角坐标xoy中，已知(0,22)Q，A，B是圆22:(1)9Cxy上的两个动点，满足||||QAQB，则ABQ面积的最大值是．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（10分）①已知直线1:310lxy的倾斜角为；②(cos,sin)m，(1,3)n且m与n共线，其中0；③角的终边经过点(2，23)，其中0．请你从这三个条件中任选一个给以下小题中的提供信息并加以解答．（1）求10sincos29cos3sin1818的值；（2）设()sin(2)3cos(2),[0,]4fxxxx．求()fx的最大值．18．（12分）已知数列{}na满足：24nnSan，设4nnba，1nncb．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nc其前n项和为nT，如果nTm„对任意的*nN恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）在ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，(tan1)(tan1)2AB，22,2,caO为ABC的外心，连接OA，OB，OC．（1）求OAB的面积；（2）过B作AC边的垂线交于D点，连接OD，试求cosOBD的值．21．（12分）已知点(0,1)A，圆22:(1)8Bxy，C为B上一动点，连接AC，BC，设E线段AC的中点，D为BC上一点，且满足0DEAC，动点D形成曲线F．（1）求||OD的取值范围；（2）直线DE与曲线F是否相切？请说明理由．第4页（共25页）22．（12分）已知函数2()12xfxxeaxax，(,)xRaR，其中2.71828e．（1）试讨论函数()fx的单调性；（2）在12ae时，()fx是否存在极值点？如果存在不妨设为1x，2x且12xx，试判断12()()fxfx与1ee的大小，并说明理由．第5页（共25页）2020-2021学年重庆市强基联合体高三（上）质检数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合{|31}xAxR，{|1}ByRy，则(AB)A．(1,)B．(1,0)C．RD．【考点】并集及其运算【分析】求出集合A，由此能求出AB．【解答】解：集合{|31}{|0}xAxRxRx，{|1}ByRy，ABR．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）若2izi（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】结合复数的运算求出z的共轭复数，从而求出答案．【解答】解：2izi，22(2)12iiiziii，故12zi，其对应的点是(1,2)，在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，共轭复数的定义，是一道基础题．3．（5分）我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余税金的15，第5关收税金为剩余税金的16”5关所税金之和，恰好重1斤．则在此问题中，第3关收税金为()斤第6页（共25页）A．110B．310C．13D．910【考点】数列的应用【分析】读懂题意，可以不看前面的文言文部分而直接看后面的“其意思是”【解答】第一关后，剩余金为原来的一半，第二关后，剩余金为原来的三分之一，第三关后，剩余金为原来的四分之一，第四关后，剩余金为原来的五分之一，第五关后，剩余金为原来的六分之一，故最初持有金子的六分之五是1斤，最初持有金子1.2斤，第三关使得整体持有金子从原来的三分之一变到四分之一，减少了0.1斤，故选：A．【点评】本题考查数列的应用，根据归纳推理算出所需要的数列，得出结论4．（5分）已知抛物线2:4Cyx的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若||4||FPFQ，则||(FQ)A．4B．52C．32或52D．32【考点】抛物线的性质【分析】先根据抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，然后对Q的位置分类讨论，即Q在线段PF上或Q在PF的延长线上，再根据抛物线的定义以及平行线段成比例即可求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得(1,0)F，准线方程:1lx，如图所示：当Q在线段PF上时，过Q作QMl，设直线l与x轴交于点S，由抛物线的定义可得||||FQMQ，在三角形PSF中，//MQSF，所以||||||||MQPQSFPF，而||4||FPFQ，||2SF，第7页（共25页）所以||||32||4MQPQPF，所以3||2MQ，即3||2FQ，当Q在PF的延长线上，过Q作QNl，所以在三角形PNQ中，||||NQFQ，且||||4||||5SFPFNQPQ，所以5||2NQ，综上，3522FQ或，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义和几何性质，涉及到直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．5．（5分）设正实数a，b，c分别满足452223,log,logabcabc，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．cbaC．bacD．abc【考点】对数值大小的比较【分析】画出函数2yx，4logyx，5logyx，3xy的图象，利用图象交点的横坐标即可比较a，b，c三者的大小关系．【解答】解：画出函数2yx，4logyx，5logyx，3xy的图象，如图所示：，由图可知：cba，故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，画出对应函数的图象，利用函数图象的交点比较大小，是基础题．第8页（共25页）6．（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22222cossin2coscosaaBbAabAB，则ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断【分析】利用同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的余弦公式，诱导公式化简已知等式，结合sinsin0AB，可得cos0C，结合范围(0,)C，可得C为直角，即可得解．【解答】解：因为22222cossin2coscosaaBbAabAB，所以2222(1cos)sin2coscosaBbAabAB，即2222sinsin2coscosaBbAabAB，由正弦定理可得2222sinsinsi