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第1页(共17页)2021年山东省济宁市高考数学二模试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|log2(x﹣1)<1},则(∁UA)∩B=()A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,2]C.(1,2)D.(1,3)2.(5分)已知(2﹣i)•z=i,i为虚数单位,则|z|=()A.55B.1C.2D.53.(5分)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X≤0)=0.2,则P(X<2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.85.(5分)已知椭圆C:�24+�23=1,过点P(1,12)的直线交椭圆C于A、B两点,若P为AB的中点,则直线AB的方程为()A.3x﹣2y﹣2=0B.3x+2y﹣4=0C.3x+4y﹣5=0D.3x﹣4y﹣1=06.(5分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知点M(3,﹣1)和点N(0,1).若点P在∠MON的角平分线上,且|��→|=4,则��→•��→=()A.﹣2B.﹣6C.2D.67.(5分)已知函数f(x)=−1+2���,�>11−2���,0<�≤1,若f(a)=f(b),则a+b的最小值是()A.2�B.eC.1+eD.2e8.(5分)“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语,例如在平面直角坐标系中,点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的曼哈顿距离为:LPQ=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.若点P(1,2),点Q为圆C:x2+y2=4上一动点,则LPQ的最大值为()A.1+2B.1+22C.3+2D.3+22二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(5分)已知a>b>0,c∈R,下列不等式恒成立的有()A.(13)a<(13)bB.ac2>bc2第2页(共17页)C.log21�>log21�D.(�+�2)2<�2+�2210.(5分)函数f(x)=2cos(2x−�6)+1(x∈R),则下列说法正确的是()A.若f(x1)=f(x2)=3,则x1﹣x2=kπ(k∈Z)B.函数f(x)在[−�6,�3]上为增函数C.函数f(x)的图象关于点(�3,1)对称D.函数f(x)的图象可以由g(x)=2sin(2x−�3)+1(x∈R)的图象向左平移�12个单位长度得到11.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(1﹣x)=﹣f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2+x﹣2,则下列说法正确的是()A.f(x)是以4为周期的周期函数B.f(2018)+f(2021)=﹣2C.函数y=log2(x+1)的图象与函数f(x)的图象有且仅有3个交点D.当x∈[3,4]时,f(x)=x2﹣9x+1812.(5分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,AB=AA1=12AD=1,∠BAD=60°,点P是半圆弧�1�1 上的动点(不包括端点),点Q是半圆弧�� 上的动点(不包括端点),则下列说法正确的是()A.四面体PBCQ的体积是定值B.��→⋅�1�→的取值范围是(0,4)C.若C1Q与平面ABCD所成的角为θ,则tan�>12D.若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S,则S∈[4π,13π)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知(x−2�)n的展开式中各项的二项式系数的和为128,则这个展开式中x3项的系数是.14.(5分)已知tan(�4−�)=12,则cos2α=.第3页(共17页)15.(5分)设双曲线�2�2−�2�2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M,N.若以MN为直径的圆经过点F2且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为.16.(5分)设函数f(x)=ex﹣cosx﹣2a,g(x)=x,若存在x1,x2∈[0,π]使得f(x1)=g(x2)成立,则x2﹣x1的最小值为1时,实数a=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC;②2asinC=ctanA;③2cos2�+�2=cos2A+1;三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.问题:已知△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若b=2,___.(1)求A的值;(2)若sinB=2sinC,求△ABC的面积.18.(12分)已知数列{an}是正项等比数列,满足a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(﹣1)nlog2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛,比赛采取五局三胜制.约定先胜三局者获胜,比赛结束.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛相互独立.(1)求甲获胜的概率;(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛,求随机变量X的分布列及数学期望.20.(12分)如图,四边形ABEF是矩形,平面ABC⊥平面ABEF,D为BC中点,∠CAB=120°,AB=AC=4,AF=6.(1)证明:平面ADF⊥平面BCF;(2)求二面角F﹣AD﹣E的余弦值.21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交抛物线C于A、B两点,l2交抛物线C于E、F两点,当点A的横坐标为1时,抛物线C在点A处的切线斜率为12.(1)求抛物线C的标准方程;第4页(共17页)(2)已知O为坐标原点,线段AB的中点为M,线段EF的中点为N,求△OMN面积的最小值.22.(12分)已知函数f(x)=xlnx﹣ax2+x,g(x)=(1﹣a)xlnx﹣ex﹣1,a>0.(1)当a=�2时,判断函数f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)≥g(x)+x恒成立,求实数a的取值范围.第5页(共17页)2021年山东省济宁市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|log2(x﹣1)<1},则(∁UA)∩B=()A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,2]C.(1,2)D.(1,3)【解答】解:因为B={x|log2(x﹣1)<1}={x|1<x<3},又集合A={x|x≥2},全集U=R,所以(∁UA={x|x<2},所以(∁UA)∩B=(1,2).故选:C.2.(5分)已知(2﹣i)•z=i,i为虚数单位,则|z|=()A.55B.1C.2D.5【解答】解:由已知可得:z=�2−�=�(2+�)(2−�)(2+�)=−1+2�5,所以|z|=(−15)2+(25)2=55,故选:A.3.(5分)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:直线l垂直于平面α内的无数条直线,若无数条直线是平行线,则l与α不一定平行,如果l⊥α,根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线.故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选:B.4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X≤0)=0.2,则P(X<2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【解答】解:随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X≤0)=0.2,∴P(0≤X≤1)=0.5﹣0.2=0.3,∴P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.3.所以P(X<2)=0.5+0.3=0.8.第6页(共17页)故选:D.5.(5分)已知椭圆C:�24+�23=1,过点P(1,12)的直线交椭圆C于A、B两点,若P为AB的中点,则直线AB的方程为()A.3x﹣2y﹣2=0B.3x+2y﹣4=0C.3x+4y﹣5=0D.3x﹣4y﹣1=0【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,∴3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0.∵P(1,1)恰为线段AB的中点,即有x1+x2=2,y1+y2=1,∴3(x1﹣x2)+2(y1﹣y2)=0,∴直线AB的斜率为k=�1−�2�1−�2=−32,∴直线AB的方程为y−12=−32(x﹣1),即3x+2y﹣4=0.由于P在椭圆内,故成立.故选:B.6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知点M(3,﹣1)和点N(0,1).若点P在∠MON的角平分线上,且|��→|=4,则��→•��→=()A.﹣2B.﹣6C.2D.6【解答】解:点M(3,﹣1)可知OM与x轴正方向所角为30°,如图点M(3,﹣1)和点N(0,1)那么ON=1,MO=2,余弦定理可得∠MON=120°,点P在∠MON的角平分线上,且|��→|=4,那么∠MOP=∠NOP=60°,可得P的坐标为(23,2),第7页(共17页)∴��→•��→=(23,2)•(−3,2)=﹣6+4=﹣2;故选:A.7.(5分)已知函数f(x)=−1+2���,�>11−2���,0<�≤1,若f(a)=f(b),则a+b的最小值是()A.2�B.eC.1+eD.2e【解答】解:∵函数f(x)=−1+2���,�>11−2���,0<�≤1,设b>1≥a>0,由f(a)=f(b)可得﹣1+2lnb=1﹣2lna,即lna+lnb=1,即ab=e,∴a+b=a+��≥2�⋅��=2�,当且仅当a=�时,等号成立,但0<a≤1时,即y=a+��在(0,1]上单调递减,故y=a+��在(0,1]上的最小值为:1+�1=1+e,故选:C.8.(5分)“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语,例如在平面直角坐标系中,点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的曼哈顿距离为:LPQ=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.若点P(1,2),点Q为圆C:x2+y2=4上一动点,则LPQ的最大值为()A.1+2B.1+22C.3+2D.3+22【解答】解:由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π),则LPQ=|1﹣2cosθ|+|2﹣2sinθ|,当cosθ≥12时,即当θ∈[0,�3]∪[5�3,2�)时,LPQ=2cosθ﹣1+2﹣2sinθ=1+22cos(θ+�4),∵θ∈[0,�3]∪[5�3,2�),∴�+�4∈[�4,7�12]∪[23�12,94�),则当�+�4=2π时,LPQ的最大值为1+22;当cosθ<12时,即当θ∈(�3,5�3)时,LPQ=1﹣2cosθ+2﹣2sinθ=3−22cos(θ+�4),∵θ∈(�3,5�3)∴�+�4∈(7�12,23�12),第8页(共17页)则当�+�4=32�时,LPQ的最大值为3+22.综上所述,LPQ的最大值为3+22.故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(5分)已知a>b>0,c∈R,下列不等式恒成立的有()A.(13)a<(13)bB.ac2>bc2C.log21�>log21�D.(�+�2)2<�2+�22【解答】解:对于A:由于a>b>0,函数y=(13)�为减函数,故(13)a<(13)b;故A正确;对于B:当c=0时,ac2=bc2;故B错误;对于C:当a>b>
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