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第1页(共24页)2021年山东省日照市高考数学适应性试卷(二模)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={x|﹣5<x<1},B={x|x2≤4},则A∩B=()A.(2,3)B.[2,3)C.[﹣2,1)D.(﹣2,1)2.(5分)已知i为虚数单位,复数z=sin7�6−icos7�6,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)已知|�→|=2,|�→|=4,当�→⊥(4�→−�→)时,向量�→与�→的夹角为()A.�6B.�4C.2�3D.3�44.(5分)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,多见于亭阁式建筑如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ,则侧棱与底面内切圆半径的比为()A.33����B.33����C.12����D.12����5.(5分)已知数列{an}是等比数列,Tn是其前n项之积,若a5•a6=a7,则T7的值是()A.1B.2C.3D.46.(5分)若实数x、y满足条件x2+y2=1,则�−2�+1的范围是()A.[0,2]B.[﹣3,5]C.(﹣∞,﹣1]D.(﹣∞,−34]7.(5分)地铁某换乘站设有编号为m1,m2,m3,m4的四个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散1000名乘客所需的时间如表:安全出口编号m1,m2m2,m3m3,m4m1,m3第2页(共24页)疏散乘客时间(s)120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是()A.m1B.m2C.m3D.m48.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x﹣1)是奇函数,当0≤x≤1时,有�(�)=1−�2,若函数y=f(x)﹣k(x﹣2021)的零点个数为5,则实数k取值范围是()A.15<�<12B.16<�<13C.312<�<24或k=−612D.−33<�<−612或612<�<33二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。(多选)9.(5分)已知曲线C的方程为�2�+1+�23−�=1(�∈�),则()A.当m=1时,曲线C为圆B.当m=5时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为�=±33�C.当m>1时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆D.存在实数m使得曲线C为双曲线,其离心率为2(多选)10.(5分)某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险:戊,重大疾病保险,各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图例:用该样本估计总体,以下四个选项正确的是()A.54周岁以上参保人数最少B.18~29周岁人群参保总费用最少C.丁险种更受参保人青睐第3页(共24页)D.30周岁以上的人群约占参保人群20%(多选)11.(5分)已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E,交棱CC1于点F,以下结论正确的是()A.四边形BFD1E不一定是平行四边形B.平面α分正方体所得两部分的体积相等C.平面α与平面DBB1可以垂直D.四边形BFD1E面积的最大值为2(多选)12.(5分)若实数t≥2,则下列不等式中一定成立的是()A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)B.(t+1)t+2>(t+2)t+1C.1+1�>logt(t+1)D.log(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3)三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)某校机器人兴趣小组有男生3名,女生2名,现从中随机选出3名参加一个机器人大赛,则选出的人员中恰好有一名女生的选法有种.14.(5分)若不等式(x﹣a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2,则实数a的取值范围是.15.(5分)球面几何是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.如图,A,B,C是球面上不在同一大圆上的三点,经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为�� ,�� ,�� ,由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为R,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点.若P,Q在赤道上,且经度分别为东经20°和东经60°,则球面△NPQ的面积为.16.(5分)如图,已知水平地面上有一半径为3的球,球心为O',在平行光线的照射下,其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图,椭圆中心为O,球与地面的接触点为E,OE=4.若光线与地面所成角为θ,椭圆的离心率e=.第4页(共24页)四、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2ccosC=acosB+bcosA.(1)求C的大小;(2)若b=3a,c=7,求△ABC的面积.18.(12分)已知正项数列{an},其前n项和为Sn,an=1﹣2Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式:(2)设��=(−1)�(1��+2�),求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(Ⅰ)证明:AC⊥BD;(Ⅱ)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A﹣CD﹣B的余弦值为33.请你从中选择一个作为条件,求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值.20.(12分)近年来,随着猪肉价格的上涨,作为饲料原材料之一的玉米,价格也出现了波动.为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(元/斤)走势如图所示:第5页(共24页)(1)该部门发现,3月到7月,各月玉米销售均价y(元/斤)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01),若不调控,依据相关关系预测12月份玉米的销售均价;(2)该部门在这一年的12个月份中,随机抽取3个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.参考数据:�=37 ��=25,�=37 ��=5.36,�=37 (��−�)(��−�)=0.64.回归方程�̂=�̂�+�̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:�̂=�=1� ����−����=1� ��2−�(�)2=�=1� (��−�)(��−�)�=1� (��−�)2,�̂=�−�̂�.21.(12分)已知抛物线E:y2=2px,过抛物线E上一点C(1,3)作直线CA,CB交抛物线于A,B两点,交x轴于D,F两点,且CD=CF.(1)求E的方程:(2)求△ABC的面积,并判断是否存在最大值,若存在请求出最大值,不存在请说明理由.22.(12分)已知�(�)=�����−������,其中a>0且a≠1.(1)若a=2,φ(x)=f'(x),曲线y=φ(x)在点(t,φ(t))处的切线为l,求直线l斜率的取值范围:(2)若f'(x)在区间(0,2π)有唯一极值点x0,①求a的取值范围;②用min{a,b,c}表示a,b,c的最小值.证明:f'(x0)<min{2aπ,(1﹣a)π}.第6页(共24页)2021年山东省日照市高考数学适应性试卷(二模)参考答案与试题解析一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={x|﹣5<x<1},B={x|x2≤4},则A∩B=()A.(2,3)B.[2,3)C.[﹣2,1)D.(﹣2,1)【分析】可求出集合B,然后进行交集的运算即可.【解答】解:∵A={x|﹣5<x<1},B={x|﹣2≤x≤2},∴A∩B=[﹣2,1).故选:C.【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义,一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查了计算能力,属于基础题.2.(5分)已知i为虚数单位,复数z=sin7�6−icos7�6,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用诱导公式化简求值,求得z的坐标得答案.【解答】解:∵z=sin7�6−icos7�6=−sin�6+icos�6=−12+32�,∴z在复平面内对应的点的坐标为(−12,32),位于第二象限.故选:B.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数值的求法,是基础题.3.(5分)已知|�→|=2,|�→|=4,当�→⊥(4�→−�→)时,向量�→与�→的夹角为()A.�6B.�4C.2�3D.3�4【分析】根据题意,设向量�→与�→的夹角为θ,由数量积的计算公式可得�→•(4�→−�→)=4�→•�→−�→2=162cosθ﹣16=0,变形可得cosθ的值,结合θ的范围分析可得答案.【解答】解:根据题意,设向量�→与�→的夹角为θ,若�→⊥(4�→−�→),则�→•(4�→−�→)=4�→•�→−�→2=162cosθ﹣16=0,变形可得:cosθ=22,又由0≤θ≤π,则θ=�4,第7页(共24页)故选:B.【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.4.(5分)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,多见于亭阁式建筑如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ,则侧棱与底面内切圆半径的比为()A.33����B.33����C.12����D.12����【分析】根据等腰三角形的边角关系,用SA和OA表示出AB的一半,从而得出侧棱与底面内切圆半径的比.【解答】解:设O为正六棱锥S﹣ABCDEF底面内切圆的圆心,连接OA,OB,如图所示:由题意可知∠AOB=�3,∠SAB=�2−�,∴OA=AB,SA•cos(�2−�)=SA•sinθ=12AB,∴��=��2����,设内切圆半径为r,则tan�3=�12��=3,r=32��,∴侧棱与底面内切圆的半径的比为���=��2����32��=33����.故选:A.【点评】本题考查棱锥的结构特征,考查运算求解能力,是基础题.5.(5分)已知数列{an}是等比数列,Tn是其前n项之积,若a5•a6=a7,则T7的值是()A.1B.2C.3D.4第8页(共24页)【分析】由a5•a6=a7,解得a1q3=1,由此利用等比数列的通项公式能求出T7.【解答】解:∵数列{an}是等比数列,Tn是其前n项之积,a5•a6=a7,∴a1q4•a1q5=a1q6,解得a1q3=1,∴T7=a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7=a17q21=(a1q3)7=1.故选:A.【点评】本题考查等比数列的前7项积的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力等数学核心素养,是基础题.6.(5分)若实数x、y满足条件x2+y2=1,则�−2�+1的范围是()A.[0,2]B.[﹣3,5]C.(﹣∞,﹣1]D.(﹣∞,−34]【分析】令�−2�+1=����−2����+1=t,变形化简,利用正弦函数的有界性可得关于t的不等式,求解t的范围即可.【解答】解:令x=cosα,y=sinα,则�−2�+1=����−2����+1,令����−2����+1=t,得tcosα﹣sinα=﹣2﹣t,有�2+1sin(φ﹣α)=﹣2﹣t,(tanφ=�1+�2).则sin(φ﹣α)=−2−�1+�2,由|�+2|1+�2≤1,解得t≤−34,所以�−2�+1的范围是(﹣∞,−34].故选:D.【点评】本题考查圆的参数形式及三角函数的化简求值,考查运算求解能力,属于中档题
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