第三讲万有引力与天体运动(奥赛培训内部资料好)

高中物理竞赛基础班@163.com第三讲：万有引力与天体运动高中物理竞赛基础班@163.com万有引力开普勒三定律轨道定律面积定律周期定律万有引力定律内容公式推导应用引力大小的计算天体质量和密度的计算发现未知天体kTa23AABBRvRv中学范围内的近似处理常规方法特殊方法牛顿定律圆周运动“称地球的重量——卡文迪许”高中物理竞赛基础班@163.com天体运动卫星的发射第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度发射速度稳定运行22MmvGmrr22MmGmrr2MmGmar2224MmGmrrT变轨运行22MmvGmrr22MmvGmrr22MmvGmrr引力势能pGMmEr同步卫星“六个一定”双星问题孤立系统高中物理竞赛基础班@163.com例1．某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，求它经过远日点B时的速度vB的大小。atvSAa21btvSBb21abSSABvbav解析：设一个很短的时间微元Δt由开普勒第二定律有：ACBvavb点评：（1）微元法（2）开普勒第二定律一．开普勒定律及其应用高中物理竞赛基础班@163.com点评：角动量及其守恒0FrM常量LtSmtrrmL2常量mLtS2rSr)0()(ttrrmvmrL例2．利用角动量守恒证明开普勒第二定律。高中物理竞赛基础班@163.comOabcABPFr例3．对于太阳系中行星的运动，天文观测中发生了如下事实（称为开普勒三定律）：（1）各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。（第一定律）（2）对于每个行星来说，太阳与行星的连线在每单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。（第二定律）（3）行星椭圆轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。（第三定律）行星运动的轨道如图所示，P为行星，F为椭圆焦点（太阳），a、b、c分别为半长轴，半短轴和焦距，O为椭圆的中心。根据万有引力定律，行星和太阳的引力势能为，其中G为万有引力常量，M为太阳的质量，m为行星的质量，r为太阳至行星的距离。试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E，面积速度S和公转周期T的公式（用G、M、m、a、b表示），并证明开普勒第三定律。高中物理竞赛基础班@163.comOabcABPFr解析：如图所示，设A、B两点行星速率为vA、vB，面积速度为SA、SB，则有：AAAAAvcavrtSS)(2121BBBBBvcavrtSS)(2121开二定律：BASSABvcacav机械能：caGMmmvrGMmmvEAAAA222121caGMmmvrGMmmvEBBBB222121BAEE)11()(2122cacaGMmvvmBA高中物理竞赛基础班@163.comOabcABPFr)()(2caaGMcavA)()(2caaGMcavBaGMmEEEBA2aGMbSSSBA2机械能：面积速度：椭圆面积：abS椭周期：GMaaSabSST2椭将上式两边平方得：恒量2234GMTa开普勒第三定律高中物理竞赛基础班@163.com例4．一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度。已知地球半径R=6400km，物体在地球引力场中的引力势能（M为地球的质量，m为物体的质量，r为物体到地心的距离）。若不计物体在运动中所受的阻力，求此物体在空中运动的时间。rMmGEP点评：（1）物体A的运动能否看成是匀变速直线运动？（2）仅受地球引力作用，物体物体的运动轨迹通常是怎样的？等效极限高中物理竞赛基础班@163.com解析：极限将物体A的运动轨迹等效为一狭长的椭圆，其两焦点位于长轴的两端，设其半长轴为a，物体A的初始位置离地心的距离为r。物体A落到地面时的速度为第一宇宙速度，即：gRvR为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。机械能守恒定律：rGMmRGMmmv221三式联立求解得：2RGMgRr2所以：Ra高中物理竞赛基础班@163.com由开普勒第三定律知abkTa23物体A绕上述椭圆轨道运动的周期与半径为R的圆轨道运动周期相等。gRvRT220椭圆面积：abS0物体A运动过程中与地心边线扫过的面积：ababS2141开二定律：00SSTtsgRTSSt3001006.2)12(高中物理竞赛基础班@163.com二．天体运动1．万有引力例5．试证明：一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。证明：如图所示，设想一均匀球壳内任一点位置A有一质量m的质点，设球壳质量面密度为σAΔS1r1取面元ΔS1，以r1表示其与A点的距离，则它对A处质点的引力为：2112111rSmGrmmGFΔS2r2面元ΔS1的边界线延长得面元ΔS22222212rSmGrmmGF几何关系：222121rrSS21FF累加求和高中物理竞赛基础班@163.com例6．不考虑地球的公转，假想将地球沿地轴打穿形成一条通道，将一小球（可看成质点）从北极自由释放，试证明小球绕地心做简谐运动。证明：设地球半径为R，密度为ρ。小球质量为m，所在位置离地心的距离为r，如图所示。F小球所受合外力（万有引力）F与位移方向相反，大小为：2rMmGF334rVMkrF高中物理竞赛基础班@163.com例7．小行星带起源（可追溯到古希腊有关太阳神的儿子法艾东的神话中，传说法艾东被宙斯击毙）的假设之一是这样的：当一些大石块跟木星靠得很近时，在木星引力场的作用下崩裂成很多小石块，即形成小行星带。若大石块的半径r=104km，它的质量m（小行星的总质量）是木星质量M的106分之一。试问大石块刚崩裂时距木星中心的距离是多少？点评：大石块为什么为崩裂？木星M大石块mPRa1a2高中物理竞赛基础班@163.com解析：木星M大石块mPRa1a2221rmGRMGa22)(rRMGa222211])(11[rGmrRRGMaaarR3222)(11RrrRR2312rGmRrGMa大石块崩裂的条件：0akmmMrR61026.12高中物理竞赛基础班@163.com例8．新发现一行星，其半径为R=6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋深度为10km。学者们对该行星进行探查时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变。试求此行星表面处的自由落体加速度。已知万有引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。点评：均匀球体表面处重力加速度：2RGMgORR0hrA星球（包括水层）半径R，除表层海洋外内层半径R0，质量M，表层海洋深度h，点A到星球中心的距离r。高中物理竞赛基础班@163.com解析：2RGMg表ORR0hrA设星球表面处海水质量为m，则有：)(34303RRm水hRR0hRhRm204水星球表层海洋底面和表面处的重力加速度20)(RmMGg底依题意：g表=g底2202)(hRmMRmMRMhRmhRhmRM222220/2.7m2sRGg水表高中物理竞赛基础班@163.com2．引力做功与引力势能例9．将一质量为m的质点由地球表面移到无穷远处，这一过程中克服引力做多少功？取无穷远处引力势能为零，由此导出物体与地心相距为r(r大于地球半径)时两者间相互作用的引力势能的表达式。已知地球质量为M，地球的半径为R，万有引力常为G。高中物理竞赛基础班@163.com解析：11111211()()()MmMmMmMmWFRRGRRGRRGGRRRRR2221212112()()MmMmMmWFRRGRRGGRRR3332322223()()MmMmMmWFRRGRRGGRRR123…方法一:微元法RRR1R2R3高中物理竞赛基础班@163.com方法二：积分法dWFdx2MmFGxRWFdxdxxrMmGW非保守力做的功等于相应势能的减少量rMmGEP0rMmGEP引力做功：高中物理竞赛基础班@163.com例10.(2013安徽)．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来的在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为A．B．C．D．pGMmEr2111()GMmRR1211()GMmRR2111()2GMmRR1211()2GMmRRC地球航天器设m、r、v、、Me稳定运行时：rmvrmMGe22rmMGmvEek2212rmMGEeprmMGEEEepk2高中物理竞赛基础班@163.com例11．（2014模拟）下图所示为某行星绕太阳做椭圆运动的示意图，图中A、B两点在轨道长轴上，C点在轨道短轴上，试证明：（1）行星运动过程中C点的速率为A、B两点速率的几何平均值；（2）轨道上A、C两点曲率半径的乘积等于轨道半长轴与半短轴的乘积。ABCM3．曲率与曲率半径高中物理竞赛基础班@163.comABCMcab（1）设a、b、c机械能守恒定律：caMmGmvcaMmGmvBA222121开普勒第二定律：BAvcavca)()(222acb椭圆性质：aGMbbaavA22aGMbbaavB22对C点：aMmGmvcaMmGmvCA222121aGMvCBACvvv2C点速率是A、B两点速率的几何平均值。解析：高中物理竞赛基础班@163.comABCMcab（2）设ρAρBρCAAvmcaMmG22)(abA2BBvmcaMmG22)(abB2VcθF引F向对C点：CCvmaMmG22cosabcosbaC2abCA高中物理竞赛基础班@163.com（1）第一宇宙速度在地面上发射一航天器，使之能绕地球的圆轨道运行所需的最小发射速度。地球航天器设m、r、v、Re、MermvrmMGe22rGMvermMGmvEek2212rmMGEep动能：引力势能：机械能：rmMGEEEepk2