6-2估计量的评价标准

下回停二、无偏估计第二节估计量的评价标准三、最小方差无偏估计四、有效估计五、相合估计(一致估计)一、问题的提出一、问题的提出究竟采用哪一个估计量更好呢？这就个数字特征出发，引入无偏性，有效性，对于总体分布中的同一个未知参数,若采用不同的估计方法，可能得到不同的估计量ˆ。产生了如何评价与比较估计量的好坏的问题，我们从估计量的数学期望及方差这两最小方差无偏估计和相合性等概念。二、无偏性设是参数的一个12ˆˆnXXX，，，估计量，如果ˆ,E，满足关系式12n，，如果12ˆˆnnnXXX，，，的一列估计ˆlimnnE则称是的渐近无偏估计量.ˆn估计量如果不是无偏估计量,就称这个估ˆ计量是有偏的，称为估计量的偏差.ˆEˆ则称ˆ是的无偏估计(量).22221,,nnnEXESESn2222nnXSS证明：样本均值是的无偏估计.样本方差是的渐近无偏估计.修正样本方差是的无偏估计.例1证所以，X2nS和均为无偏估计量，而2221limlimnnnESn故是的渐近无偏估计.2nS2().2XEXDX设总体的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记，例2设总体服从区间上的均匀分布,X0，12nXXX，，，是总体的一个样本.X试证：参数的矩估计量是的无偏1ˆ2X的渐近无偏估计.证1ˆ2222EEXEX故的矩估计是无偏估计量.1ˆ估计;的最大似然估计niniLXX1maxˆ是1,00,nnXnnxxpx其他LnXnEEXxpxdx101nnnnxxdxn所以.ˆ的有偏估计量是L但是,ˆlimlim1LnnnEn即是的渐近无偏估计量.ˆL但只要修正为2()11ˆˆLnnnXnn那么也是的无偏估计量.2ˆ1°一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.1122ˆˆ都是无偏估计量.2°有时一个参数的无偏估计可能不存在.例如，设总体则||就没有无偏~,1,XN估计.其中.2222()12EXe12121,设和为满足的任意常数则注3°有时无偏估计可能明显不合理.例如，设1XP是来自泊松总体的一个12X3e样本，可以证明是的无偏估计.但这个无偏估计明显不合理.当1X取奇数值时，估计值为负数.用一个负数估计，3e明显不合理.三、最小方差无偏估计定义6.4如果存在一个无偏估计量,使对的任意无偏0ˆ估计量,都有ˆ0ˆˆDD则称是的最小方差无偏估计(量).0ˆ缩写为MVUE.若对任意的无偏估计量均为和设,ˆˆ21.ˆˆ,ˆˆ2121有效比则称有样本容量DDn最小方差无偏估计是一种最优估计.例3设总体服从区间上的均匀分布,X0，的一个样本，矩12nXXX，，，是总体X估计1ˆ2X和修正的最大似然估计21ˆnnXn的无偏估计，和哪个更有效？均为1ˆ2ˆ解221()4ˆ244123DXDDXDXnnn22211ˆnnnnDDXDXnn222()2(1)()nnnEXEXn,1nnEXn2212()02nXnnnnnEXxpxdxxdxn22222222111ˆ,22nnnDnnnnn显然当时2n2212ˆˆ32DDnnn即比有效.2ˆ1ˆ是存在，设),(0)(,)(212XXXDXE,4143ˆ211XX,2121ˆ212XX.3132ˆ213XX例4来自总体X的样本,问:下列三个对的无偏估计量哪一个最有效?解注一般地，在的无偏估计量可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明定义6.6设是未知参数12ˆˆ,,,nnnXXX的估计序列，如果依概率收敛于，即对ˆˆn任意,有：0ˆlim{}1nnPˆlim{}0nnP或则称是的相合估计(或一致估计).ˆn四、相合估计(一致估计)且ˆlim()0nnD,则是的相合估计(或一致估计).ˆn证明ˆ0{}nP由于定理6.2设nˆ是的一个估计量,若,ˆlimnnE221ˆ()nEˆ()nPxdx22ˆˆ()()nnPxdx22ˆ()()nPxdx令,由定理的假设得nˆlim{}0nnP即是的相合估计．ˆn221ˆˆˆnnnEEE2221ˆˆˆˆˆˆ[2]nnnnnnEEEEE221ˆˆ[]nnDE均值的相合估计.EX若总体的和都存在,证明是总体EXXDXX证因为EXEX0DXDXnn故是总体均值的相合估计.XEX一般样本的阶原点矩是总体阶k11nkkiiAXnk原点矩的相合估计.矩估计往往是相合估计.例9估计量的评选的四个标准，但要求一下三个标准无偏性有效性相合性相合性是对估计量的一个基本要求,不具备由最大似然估计法得到的估计量,在一定条相合性的估计量是不予以考虑的.有效性这两个标准.件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和内容小结设总体X的方差XD存在,且,0XDnXXX,,,21为来自总体X的样本,试选择适当的常数C,使得1121niiiXXC为D(X)的无偏估计.备用题例2-1])([1121niiiXXCE1121)(niiiXXEC}])([)({21111niiiiiXXEXXDC)()(),()(XDXDXEXEii),,2,1(ni)(2)()()(11XDXDXDXXDiiii0)()()(11iiiiXEXEXXE解nXXX,,,21而相互独立,且与X同分布])([1121niiiXXCE}])([)({21111niiiiiXXEXXDC11)(2niXDC)()1(2XDnC依题意，)(])([1121XDXXCEniii)()()1(2XDXDnC即.)1(21nC设1ˆ及2ˆ为的两个独立的无偏估计量,且假定,ˆ2ˆ21DD求常数,21CC及使.ˆ,ˆˆˆ2211达到最小并使的无偏估计为DCC解例5-1设总体的二阶矩存在，X12nXXX，，，是来自总体X的一个样本，.1,2,n试证是总体均值的相合估计.12ˆ1nniiiXnn证因为1122ˆ()11nnniiiiEEiXiEXnnnn1122112ninninnnn例9-12221124ˆ11nnniiiiDDiXiDXnnnn222141niiDXnn22121461nnnDXnn221031nDXnnn故是总体均值的相合估计.ˆn