专题21 与圆相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

1/406学科网（北京）股份有限公司专题21与圆有关的压轴题一、填空题1．（2021·广西玉林市·中考真题）如图、在正六边形ABCDEF中，连接线AD，AE，AC，DF，DB，2/406学科网（北京）股份有限公司AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设3AB．有以下结论：①MNAD；②23MN；③DAG△的重心、内心及外心均是点M；④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合．则所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【分析】由题意易得ABBCCDDEEFFA，3/406学科网（北京）股份有限公司120ABCBCDCDEDEFEFAFAB，则有30EFDEDF，进而可得90DFAFDC，则有四边形FACD是矩形，然后可得FANBAM≌，ADG为等边三角形，最后可得答案．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴ABBCCDDEEFFA，120ABCBCDCDEDEFEFAFAB，4/406学科网（北京）股份有限公司∴在△DEF中，180302DEFEFDEDF，∴90DFAFDC，同理可得90FACDCA，∴四边形FACD是矩形，5/406学科网（北京）股份有限公司同理可证四边形ABDE是矩形，∴//,//DNAMANMD，∴四边形AMDN是平行四边形，∵,90,30AFABNFAMBAFANMAB，6/406学科网（北京）股份有限公司∴FANBAM≌（ASA），∴ANAM，∴四边形AMDN是菱形，∴MNAD，∴∠NAM=60°，∴△NAM是等边三角形，∴AM=MN，7/406学科网（北京）股份有限公司∵AB=3，∴23cosABAMMAB，∴23MN，∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，∴∠G=60°，∴△ADG是等边三角形，∵AC与BD交于点M，∴由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得：DAG△8/406学科网（北京）股份有限公司的重心、内心及外心均是点M，连接OF，如图所示：易得∠FOA=60°，∴四边形FACD绕点O逆时针旋转60与四边形ABDE重合，9/406学科网（北京）股份有限公司∴综上所述：正确结论的序号是①②③；故答案为①②③．【点睛】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数，熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键．2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，23AB10/406学科网（北京）股份有限公司，点C是⊙O上的一个动点，且60ACB，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．【答案】4334p-【分析】阴影面积由弓形ADB面积加上△MNB的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB的最大面积，由M,N为AB,BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，所以△BMN∽△BAC，所以S△BMN=14S△ABC，求出△ABC的最大面积即可，而AB边为定值，当点C到AB的距离最大，三角形面积最大，当CM⊥AB11/406学科网（北京）股份有限公司时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．【详解】连接OA,OB，连接OM，如图∵60ACB,∴2120AOBACB，12/406学科网（北京）股份有限公司∵M为AB中点，∴OM⊥AB，132AMBMAB===,60AOMBOM?=?∴30OAM,设OM=x，则AO=2x，在Rt△AOM中222,OMAMAO+=即13/406学科网（北京）股份有限公司222(3)(2)xx，解得x=1，即1,2OMAO==,S弓形ADB=S扇形OADBAOBS-V=2120214231336023pp按?-创=-°，14/406学科网（北京）股份有限公司∵M,N为边AB,BC的中点，∴MN∥AC，∴BMNBACV:V,∴14BMNABCSS=VV,当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，由垂径定理可知，AC=BC,15/406学科网（北京）股份有限公司又∵∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形，∴23AC,在Rt△ACM中，2222(23)(3)3CMACAM=-=-=,∴ABCS的最大值为：1233332,∴16/406学科网（北京）股份有限公司1133=33444BMNABCSS=?VV,∴阴影面积的最大值为：4334333434pp-+=-．故填：4334p-．【点睛】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，在RtAOB中，90AOB，4OA，6OB，以点O为圆心，317/406学科网（北京）股份有限公司为半径的O，与OB交于点C，过点C作CDOB交AB于点D，点P是边OA上的点，则PCPD的最小值为_____．【答案】21018/406学科网（北京）股份有限公司【分析】延长CO，交O于一点E，连接PE，由题意易得3OCBCOE，90BCDAOB，则有BCDBOA∽，CP=PE，然后可得2CD，PCPDPEPD，要使PCPD的值为最小，即PEPD的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可．【详解】解：延长CO，交O于一点E，连接PE，如图所示：19/406学科网（北京）股份有限公司∵6OB，以点O为圆心，3为半径的O，∴3OCBCOE，∵90AOB，CDOB，∴90BCDAOB，∴//CDOA，CP=PE，∴BCDBOA∽，∴12CDBCOAOB，20/406学科网（北京）股份有限公司∵4OA，∴2CD，∵CP=PE，∴PCPDPEPD，则要使PCPD的值为最小，即PEPD的值为最小，∴当D、P、E三点共线时最小，即PEPDDE，如图所示：21/406学科网（北京）股份有限公司∴在Rt△DCE中，22210DECDCE，∴PCPD的最小值为210；故答案为210．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关22/406学科网（北京）股份有限公司键．4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在RtABC中，90C，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，8BE，O为BCE的外接圆，过点E作O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①AEBE；②AEDCBD；③若40DBE，则DE的长为89；④DFEFEFBF；⑤若6EF，则2.24CE．23/406学科网（北京）股份有限公司【答案】①②④⑤【分析】①根据线段垂直平分线定理即可得出结论；②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论24/406学科网（北京）股份有限公司⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出ADAEACAB，即可计算出结果【详解】解:①∵DE是AB的垂直平分线∴AEBE故正确25/406学科网（北京）股份有限公司②∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵90C∴∠A+∠ABC=90°∴AEDCBD故正确③连接OC26/406学科网（北京）股份有限公司∵DE是AB的垂直平分线∴AEBE∴∠EBD=∠A=40°在Rt△ABC中，∠ABC=90°-40°=50°∴∠EBC=50°-40°=10°∵∠EOC=2∠EBC∴∠EOC=20°∴20441809EC故错误27/406学科网（北京）股份有限公司④∵DE⊥AB，EF是O的切线∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴DFEFEFBF故正确28/406学科网（北京）股份有限公司⑤∵6EF，8BE∴BF=22366410EFBE∵1122EFBEBFED∴684.810ED在Rt△EDB中，222284.86.4BDBEED29/406学科网（北京）股份有限公司∵DE是AB的垂直平分线∴6.4ADDB，AE=BE=8∵在Rt△ADE和Rt△ACE中∠A=∠A,∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴ADAEACAB∴648128AC∴AC=10.2430/406学科网（北京）股份有限公司又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24故正确故答案为：①②④⑤【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键5．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则12CDr31/406学科网（北京）股份有限公司；②若AOC△为正三角形，则32CDr；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CDr；④无论点C在何处，将ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为_________．【答案】②③④【分析】①过点O作OE⊥AC，垂足为E，求出∠CAD=30°，得到CD=1232/406学科网（北京）股份有限公司AC，再说明OE=12r，利用∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断；②过点A作AE⊥OC，垂足为E，证明四边形AECD为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；④过点C作CE⊥AO，垂足为E，证明△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断.【详解】解：①∵∠AOC=120°，∴∠CAO=∠ACO=30°，33/406学科网（北京）股份有限公司∵CD和圆O相切，AD⊥CD，∴∠OCD=90°，AD∥CO，∴∠ACD=60°，∠CAD=30°，∴CD=12AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则CE=AE=12AC=CD，而OE=12OC=12r，∠OCA≠∠COE，34/406学科网（北京）股份有限公司∴CE≠OE，∴CD≠12r，故①错误；②若△AOC为正三角形，∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r，35/406学科网（北京）股份有限公司∴∠OAE=30°，∴OE=12AO，AE=32AO=32r，过点A作AE⊥OC，垂足为E，∴四边形AECD为矩形，∴CD=AE=32r，故②正确；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，∴AD=CD，而∠ADC=90°，36/406学科网（北京）股份有限公司∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°，∴∠ACO=∠CAO=45°∴∠DAO=90°，∴四边形AOCD为矩形，∴CD=AO=r，故③正确；37/406学科网（北京）股份有限公司④过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE，38/406学科网（北京）股份有限公司∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO，∵OC=OA，∴∠OAC=∠ACO，∴∠CAD=∠OAC，∴CD=CE，在△ADC和△AEC中，∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=A