投资基金最佳使用计划研究

1投资基金最佳使用计划研究周建云曾敬杨广煜【摘要】：在社会经济生活中，我们常会遇到一笔资金有很多不同的投资机会，面对这些机会，我们可以选择不同的投资方式，从而使这笔资金在一段时期内达到的收益最大。本文涉及的问题是对某校的一笔基金，每年都要用一部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额大致相同，在可以将其存入银行和购买国库券的两种投资机会下（每种投资机会下又有多种方式），怎样安排一个n年的投资计划，使其每年可用于发奖励的奖金额尽可能多，而在n年后仍保留原有的基金数额不变。在这个问题的解决过程中，我们首先考虑只存款不购国库券方式。对于第一年，年初有一笔资金例如5000万，在还没有投资的方式下是不可能发奖金的，所以在第一年年初不会发奖金。由于活期存款和半年期存款利率都比较低，学校不会因为要在第一年发奖金而去投资活期存款和半年期存款，按常理在第二年的1月1日发第一年的奖金完全是合理的，并且假设第n+1年的1月1日发第n年的奖金，所以在这种方式下，不可能采用活期和半年期存款投资方式。对于每年用于奖励的奖金额首先按每年相同处理，然后再按逐年递增，递增的比例相同来处理。这样通过对这种投资背景的分析,我们认为这是一个线性规划问题，根据每年可用于投资的投资额等于当年初（即前一年末）能收回的存款本利和减去当年初发放的奖金数，但第一年初的投资额为M，我们建立了关于这个问题的一般线性规划模型，并对M=5000，n=10用Lindo软件求得其最佳投资方案为：每年发放的奖金额为109.82万元，第一年投资一年期存款396.76万元，二年期存款200.49万元，三年期存款195.61万元，五年期存款4207.13万元；第二年投资三年期存款195.61万元，五年期存款98.47万元；第三、四、五年均投资五年期存款98.47万元；第六年投资五年期存款4581.97万元。对于奖金额逐年增长的具体方案见文中表三的数据。再考虑可存款也可购国库券的情况。在这种情况下，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难，因此我们给予了适当合理的简化。一般地，购买两年期国库券，加上存活期或半年期等待（由于发行时间不定）购买的时间，需要占用三年时间，从而可将购买两年期国库券的投资方式看成相当于三年期的定期存款方式，并计算出相应的年利率。这样我们就将所有的购买国库券方式转换成相应的定期存款方式来处理。而且我们在计算中发现，对于某一种国库券购买方式，在某一年的任何月份发行并在当月购买，所取得的收益是相同的。作为一个结论我们给予了证明。因此，无论国库券发行是在哪一个月，我们均可以看作是在该年的1月1日，而购买国库券从理论上分析是宜早不宜迟，因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样它就是第一种情况的一种拓广，我们也建立了其一般的线性规划模型，并对M=5000，n=10给出了最好的投资方案（对于每年发放的奖金额相同）：每年发放的奖金额为127.54万元，第一年投资一年期存款346.14万元，二年期存款227.59万元，三年期存款222.05万元，四年期存款（即购买三年期国库券并存了一段时间的活期或半年期）4095.33万元，六年期存款108.89万元（即购买五年期国库券并存了一段时间的活期或半年期）108.89万元；第二年投资四年期存款115.94万元，六年期存款108.89万元；第三、四年均投资六年期存款108.89万元；第五年投资六年期存款4377.65万元。当然这样处理会有误差，经过多次计算检验，误差大约在5%左右。但是与问题简化的程度相比，我们认为这是合算的。对于在基金到位后的第3年学校要举行校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%，只需要在前述两种情况下，在第四年的约束式中将奖金变量y修改为1.2y即可解决。关键字：数学模型，线性规划，投资计划，投资方式。2一、问题重述：某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资，使每年学校奖励优秀师生的奖金尽可能多，且保证n年未仍保留原基金数额。因此，我们可以用线性规划来处理这个问题。二、模型假设：1、基金是在计划期第一年的1月1日到位，且n年内基金数额不再追加。我们把这一年作为问题讨论的第一年。2、从第二年开始每年的1月1日发奖金一次。且第（n+1）年的1月1日发第n年的奖金（第一年年初不发）。3、基金的每种使用方式是相互独立的，定期存款和国库券不能提前支取。4、在计划期的n年中存款利率和国库券利率不变。5、银行存款及国库券不以复利来计算利息。6、假设购买国库券只能在发行的当月购买，且发行当月的任何一天购买收益率相同，即在当月的第1天和最后1天购买收益率一样。7、国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。三、变量说明：M表示基金的总额（单位：万元）y表示每年的奖励师生的奖金额（单位：万元）xij表示第i年对第j种存款方式的投资额（第j种存款方式表示j年期定期存款，单位：万元）pi表示i年期定期存款利率pb表示半年期定期存款利率ph表示活期存款利率四、问题一：只存款不购国库券的的情况31、问题分析由于我们假设每年发奖金的时间在1月1日，第n+1年的1月1日发第n年的奖金，而半年期和活期存款利率比较低，因此我们可以推断在此种情况下，半年期和活期存款投资方式不可能被采用，而只能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表一所示。例如表中x11表示第一年对一年期定期存款式的投资额，一年后其本利和为1.018x11；x12表示第二年对二年期定期存款的投资额，二年后其本利和为1.03888x12，其余类似。2、模型的建立建立模型的原则是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为M万元）。每年的资金在发放完奖金后又继续选择合适的几种存款方式投资。（1）考虑每年奖金额相等的情况计划期为n年的一般模型：maxyMxxxx=+++15131211()yxpxxxx−+=+++111252322211()()yxpxpxxxx−+++=+++21112235333231121()()()yxpxpxpxxxx−+++++=+++3112221334543424112131（第四年的约束）()()()yxpxpxpxxxx−+++++=+++4113222335553525112131()()()()()()2223335555321213151−−−+++++=+++iiiiiiixpxpxpxxxx()()46...1111−≤≤−++−niyxpi()()()2)5(23)6(35)8(53)3(2)3(1)3(213151−−−−−−+++++=++nnnnnnxpxpxpxxx()yxpn−++−1)4(111()()()2)4(23)5(35)7(53)2(2)2(1)2(213151−−−−−−+++++=++nnnnnnxpxpxpxxx()yxpn−++−1)3(11()()()()yxpxpxpxpxxnnnnnn−+++++++=+−−−−−−1)2(12)3(23)4(35)6(52)1(1)1(1213151()()()()yxpxpxpxpxnnnnn−+++++++=−−−−1)1(12)2(23)3(35)5(511213151()()()()Myxp1xp21xp31xp511n12)1n(23)2n(35)4n(5=−+++++++−−−0≥ijxniK3,2,1=5,3,2,1=j0≥y5≥n⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4表一只存款方式下十年的投资方案分析(表中数据是本利和)一二三四五六七八九十十一X11X12X13X151.018x111.03888x121.0648x131.1152x15X21X22X23X251.01800x211.03888x221.0648x231.1152x25X31X32X33X351.01800x311.03888x321.0648x331.1152x35X41X42X43X451.01800x411.03888x421.0648x431.1152x45X51X52X53X551.01800x511.03888x521.0648x531.1152x55X61X62X63X651.01800x611.03888x621.0648x631.1152x65X71X72X73X751.01800x711.03888x721.0648x73X81X82X83X851.01800x811.03888x821.0648x85X91X92X93X951.01800x911.03888x12X(10)1X(10)2X(10)3X(10)51.018x(10)15当n=10，M=5000，利率为题目中给定的利率时，模型为：maxy500015131211=+++xxxxyxxxxx−=+++1125232221018.1yxxxxxx−+=+++211235333231018.103888.1yxxxxxxx−++=+++31221345434241018.103888.10648.1yxxxxxxx−++=+++41322355535251018.103888.10648.1yxxxxxxxx−+++=+++5142331565636261018.103888.10648.11152.1yxxxxxxx−+++=++61524325737271018.103888.10648.11152.1yxxxxxxx−+++=++71625335838281018.103888.10648.11152.1yxxxxxx−+++=+817263459291018.103888.10648.11152.1yxxxxx−+++=918273551)10(018.103888.10648.11152.15000018.103888.10648.11152.11)10(928365=−+++yxxxx0≥ijxi=1,2,…10j=1,2,3,5用Lindo求得最优投资方案如下表二所示。表二奖金相同时的最佳投资方案单位：万元投资方式年份一年定期二年定期三年定期五年定期奖金第一年396．76200．49195．614207．13109．82第二年195．6198．47109．82第三年98．47109．82第四年98．47109．82第五年98．47109．82第六年4581．97109．82第七年109．82第八年109．82第九年109．82第十年109．82（2）考虑奖金逐年递增的情况根据现实要求，每年的奖金额可有所增加，对于奖金额每年增长1%，2%，3%,4%，5%，10%的情况，只需要在相应的约束中修改变量y的系数，计算结果见表三。6表三奖金额逐年递增的最优投资方案单位：万元奖金增长率1%2%3%4%5%10%第一年奖金额105.155100.65