泰勒公式的应用超强总结

1泰勒公式的应用龚成通泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点．但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计”的有关要求全部删除了，现在只剩下极限计算和不等式证明了．数学三、四对此是没有要求的，但是令人不可思议的是，数学三却对泰勒级数是有要求的．在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：●1．展开的基点；●2．展开的阶数；●3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．【例1】求极限)3(211ln3)76(sin6lim2202xxxxxxxexx；【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂．用泰勒公式就会方便得多．基点当然取在0x点，余项形式也应该肯定是皮亚诺余项．问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项，直到消不去为止．首先将分子上函数xxsin6e2进行展开，为此写出2ex和xsin的泰勒展开式．2ex的第一项是1，xsin的第一项是x，所以xxsin6e2的第一项是x6，与后面的x6消去了．再将它们展开一项，得到xxsin6e2的前两项是376xx，所以还要将它们再展开一项．对于分母也是一样．【解】)(!211e5422xoxxx，)(!51!31sin653xoxxxx，)(402767sine5532xoxxxxx，)(51413121)1ln(55432xoxxxxxx，)(51413121)1ln(55432xoxxxxxx，)(52322)1ln()1ln(11ln553xoxxxxxxx，2原式)(56)(4027lim55550xoxxoxx169．【例2】求极限xxxxxxxx1cos2212)11(lim22222．【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算的，但必须要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂．为了方便地使用泰勒公式可以先做换元xt1（倒数置换法）．【解】原式xt1tttttcos22211lim2220)](!41!211[222)](81211[)](81211[lim44224424420tottttotttottt3)(121)(41lim44440tottott．