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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 四边形全章知识点与常见题型总结(讲解)
第1页共25页知识点总结1.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这个定义包含两层意义:①四边形;②两组对边分别平行2.对角线的定义平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线3.平行四边形的性质①从边看:平行四边形的对边平行且相等②从角看:平行四边形的对角相等,邻角互补③从对角线看:平行四边形的对角线互相平分,互相平分是指两条线段有公共的中点4.平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.5.平行四边形的判别方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形6.平行四边形的性质与判定的区别平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形7.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质②矩形的四个角都是直角③矩形的对角线相等④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11.矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算①面积公式:矩形面积=长宽②如图.矩形ABCD的两条对角线相交于O,则14ABOBCOCDOADOSSSSS矩形ABCD第2页共25页OABCD13.菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质②菱形的四条边都相等③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边都相等四边形是菱形16.有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,11()22ABDCBDSSSBDOAOCBDACABCDO也可以用平行四边形的面积计算公式=底高17.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:四边相等,对边平行②角:四个角都是直角③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45④正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判第3页共25页断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系对角线垂直对角线相等一个内角为直角一组邻边相等正方形菱形平行四边形矩形23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形:两腰相等的梯形直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行②一组对边平行但不相等的四边形是梯形25.等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴26.等腰梯形的判定①两腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面积面积=(上底+下底)×高÷228.三角形中位线:连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半梯形中位线:连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半第4页共25页梯形辅助线的添法(图一)(图二)(图三)(图四)(图五)(图六)(图七)(图八)基础题型1.如图在平行四边形ABCD中,:5:3AB,求这个平行四边形各内角的度数ABCD解:四边形ABCD是平行四边形ADBC∥,180AB由于:5:3AB故设5Ax,则3Bx中点中点第5页共25页即53180xx解得22.5x因此522.5112.5A,322.567.5B平行四边形各内角度数分别是112.5,67.5,112.5,67.52.已知平行四边形ABCD的周长为38cm,AC,BD相交于O,且AOB的周长比BOC的周长小于3cm,如图,求平行四边形ABCD各边的长解:四边形ABCD为平行四边形OAOC,ABCD,BCADAOB的周长=OAOBABBOC的周长=OCOBBC且AOB的周长比BOC的周长小于3cm()()3OCOBBCOAOBBC3BCAB又平行四边形ABCD的周长为38cm19BCAB8ABcm,11BCcm8CDcm,11ADcm3.如图,已知:在平行四边形ABCD中,BD是对角线,AEBD于E,CFBD于F求证:AECFDCBAEF证明:方法一:四边形ABCD是平行四边形ABCD∥,ABCDABECDFAEBD,CFBDAEBCFD()ABECDFAASAECFODCBAEF方法二:连接AC,交BD于O四边形ABCD是平行四边形OAOC,又AEBD,CFBDAEOCFO,而AOECOFAEOCFO(AAS)AECF4.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AC,CA延长线上的点,且CEAF,则BF与DE具有怎么样的位置关系?试说明理由第6页共25页EFABCD解:BFDE∥证明:方法一:在平行四边形ABCD中,ABCD∥,ABCD,BACDCA180BACBAF,180ACDDCEBAFDCE又AFCEAFBCED()SAS方法二.连接BD,交AC于O在平行四边形ABCD中,AOCO,BODOAFCEOFOEFOBEODBOFDOE(SAS)FEBFDE∥OEFABCDOEFABCD方法三.连接BD,交AC于O,连接DF,BE由方法二知.OFOE,OBOD四边形BEDF为平行四边形BFDE∥5.如图,已知O是平行四边形ABCD对角线的交点,38ACcm,24BDcm,14ADcm,那么OBC的周长为_____ODCBA解:根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知14BCADcm,11241222OBBDcm,11381922OCACcmOBC的周长为14121945BCOBOCcm6.如图平行四边形ABCD中,EFAB∥,GHAD∥,EF与GH交于O,则该图形中的平行四边形的个数共有()第7页共25页A.7B.8C.9D.10FEDCBAGHO由题意可知图中的平行四边形分别是:DEOH,EAGO,HOFC,OGBF,DAGH,HGBC,DEFC,EABC,DABC所以共有9个7.如图,平行四边形ABCD中,AF平分DAB交CD于N,交BC的延长线于F,DEAF,交AB于M,交CB延长线于E,垂足为O,试证明:BECFONMFEABCD证明:四边形ABCD为平行四边形ADBC∥,ABCD∥,ABCDDAFF,ADEE,EDCAMDDEAF,90AOMAODAF平分DAB,DAFBAFOAOAAOMAOD(ASA)ADMAMD,BAFF,EDCEABBF,CDCEBFCEBECF8.如图,已知:D,E,F分别在ABC的各边上,DEAF∥,DEAF,延长FD到G,使2FGFD.求证:AG与DE互相平分.ABCDEFGABCDEFG证明:连接AD,EGDEAF∥,DEAF四边形AEDF是平行四边形DFAE,DFAE∥第8页共25页又2FGFD12DGDFFGDGAE,而DFAE∥四边形AEGD为平行四边形AG与DE互相平分9.如图,已知D是ABC的边AB的中点,E是AC上的一点DFBE∥,EFAB∥试说明:AE与DF互相平分ABCDEFABCDEF证明:连接AF,DEDFBE∥,EFAB∥四边形BDFE为平行四边形,EFBDD是AB中点BDADADEF,ADEF∥四边形ADEF为平行四边形AE与DF互相平分10.如图,点M,N分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上,且BMDN,MEBD,NFBD,垂足分别为E,F,求证:MN与EF互相平分MNABCDEFMNABCDEF证明:连接EN,MF四边形ABCD是平行四边形BCAD∥,CBDADB90MEFNFE,90MEBNFDMENF∥BMDNBMEDNF()AAS第9页共25页MENF四边形EMFN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)MN与EF互相平分11.如图,AF与BE互相平分,交点为M,EC与DF互相平分,交点为N,那么,四边形ABCD是平行四边形么?你是怎么判定的?NMEFABCDNMEFABCD解:四边形ABCD是平行四边形证明:连接AE,BF,EF,DE,CFAF与BE互相平分四边形ABFE是平行四边形EFAD∥,EFADEC与DF互相平分四边形BCEF是平行四边形EFBC∥,EFBCADBC,ADBC∥四边形ABCD是平行四边形12.如图,已知BE,CF是ABC的高,D是BC的中点.求证:DEDFABCDEF证明:BE,CF是ABC的高,BFC,BEC均为直角三角形D是BC的中点DF是RtBFC斜边上的中线,DE是RtBEC斜边上的中线12DFBC,12DEBCDEDF第10页共25页13.如图,先将矩形纸片ABCD对折一次折痕为EF,展开后又将纸片折叠使点A落在EF上,此时折痕为BM,求NBC度数的大小MNABCDEFGFEDCBANM提示:根据题意得111222AEBEDFFCCDABBN过点N作NGBC,垂足为G则12NGBN,30NBC(直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半,反过来也成立)14.过矩形ABCD对角线AC的中点O作EFAC分别交AB,DC于E,F,点G为AE的中点,若30AOG,求证:13OGDCGFEABCDOODCBAEFG证明:连接CE四边形ABCD是矩形OAOCEFACEF是线段AC的垂直平分线EAEC30AOG60ACB,30OCE30BCE12BEECG是AE中点1122OGAGGEAECEOGAGGEEB13OGDC15.在矩形
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