向量分析与场论

返回后页前页Ch6向量分析与场论返回后页前页-2-工程数学---------向量分析场论§1向量分析1.向量值函数2.矢端曲线3.向量值函数的导数4.向量值函数的积分返回后页前页-3-工程数学---------向量分析场论1.向量值函数:设X是一个非空数集,若存在一个对应规则，使得,tX有唯一确定的AY与之对应,记作().AAtY是一个非空向量集,则称为t的向量值函数，A()At的坐标形式为：()()()xyzAAtiAtjAtk()At()xAt()yAt()zAt返回后页前页-4-工程数学---------向量分析场论()At称为此曲线的向量方程.当t变化时，将的起点取在原点，()At的终点所形成的()At称为的矢端曲线；()At曲线，zxyo()At(,,)xyz矢端曲线的参数方程：(),xxAt(),yyAt()zzAtzxyocos,xasin,yazb如圆柱螺旋线cossinraiajbk参数方程为向量方程为2.矢端曲线：返回后页前页-5-工程数学---------向量分析场论3.向量值函数的导数zxyoM()At()AttA若点的某邻域内有定义,t00()()limlimttAAttAttt则称此极限为在点()Att(1)导数:存在，处的导数（导矢），记作ddAt()At或N()At设向量值函数()At在()()()xyzAtiAtjAtk返回后页前页-6-工程数学---------向量分析场论设()cossin,eij证明1()(),ee且1()().ee()(cos)(sin)eij证：1()sincoseij1()(sin)(cos)eijcossinij(),e1()()eecossinsincos01()().ee例1.1()(),eesincosij1()e返回后页前页-7-工程数学---------向量分析场论(2)微分：设向量值函数(),AAt称d()dAAtt为在处的微分.t()Atd()dAAtt(()()())dxyzAtiAtjAtktd()d()d()xyzAtiAtjAtkdA()At与同向，0t0t与反向，dA()At()Att返回后页前页-8-工程数学---------向量分析场论(3)导数公式1)()0C2)()ABAB3)()uAuAuA4)()ABABAB5)()ABABABd6)(())dAuttddddAuut返回后页前页-9-工程数学---------向量分析场论例2.证明AConstd0dAAt证：AConst22AAConst2ddAtd2dAAt0返回后页前页-10-工程数学---------向量分析与场论(4)导数的几何意义zxyo()AtM()AttANAtA与同向，0tAtA与反向，0tAt始终指向t增大的方向,()At0limtAt始终指向t增大的方向.为切向量，AtA返回后页前页-11-工程数学---------向量分析场论rxiyjzk向径函数ddddrxiyjzk222d(d)(d)(d)rxyz弧微分222d(d)(d)(d)sxyzzxyorMrN从而dd1,ddrrss为单位切向量，ddrs始终指向参数s增大的方向.取参数为弧长s（自然参数）返回后页前页-12-工程数学---------向量分析场论(5)导数的物理意义zxyo()rtM0M设质点M的运动方程为:()rrtsddrtddddrsstvv速度ddvtw加速度22ddrt返回后页前页-13-工程数学---------向量分析场论例3.求曲线()2cos2sin4rijk4在处的切线和法平面方程.解：()2sin2cos4rijk4当时，()224rijk()2244rijk切线方程为：22422xyz法平面方程为：2(2)2(2)4()0xyz返回后页前页-14-工程数学---------向量分析场论4.向量值函数的积分若在区间I上，有()(),BtAt(1)不定积分:记作()dAtt()BtC则称()Bt为在区间I上的一个原函数；()At原函数全体，称作()At在区间I上的不定积分，()dAtt()d()d()dxyziAttjAttkAtt()Bt为的一个原函数，()At若则()dAtt在区间I上()At的返回后页前页-15-工程数学---------向量分析场论不定积分公式1)()d()dkAttkAtt2)[()()]d()d()dAtBttAttBtt3)()d()duttutt4)()d()dAttAtt5)()d()dAttAtt6)()()dAuutt7)()()dAtBtt()()()()dAuBtAtBtt()dAuu返回后页前页-16-工程数学---------向量分析场论(2)定积分：10lim()niiniAt21()dTTAtt则称极限设向量值函数()At在区间上连续，12[,]TT为在上的定积分.()At12[,]TT21()()BTBT222111()d()d()dTTTxyzTTTiAttjAttkAtt21()dTTAtt21()dTTAtt牛顿-莱布尼兹公式返回后页前页-17-工程数学---------向量分析场论例4.323()(2)3(2),Atttitjttk解：已知计算11)lim()tAtd2)()dAtt3)()dAtt104)()dAtt11)lim()tAt323111lim(2)lim3lim(2),tttttitjttk33,ijkd2)()dAtt323ddd(2)3(2),dddttitjttkttt22(23)6(23),titjtk返回后页前页-18-工程数学---------向量分析场论3)()dAtt323(2)d3d(2)d,tttittjtttk2432411()()44ttitjttkC104)()dAtt102432411[()()]44ttitjttk3544ijk返回后页前页-19-工程数学---------向量分析场论例5.解：计算22(1)dtett22(1)dtett22(1)d(1)ett21(1)etC例6.解：计算()()dAtAtt()()dAtAtt()d()AtAt()()()()dAtAtAtAtt()()AtAtC返回后页前页-20-工程数学---------向量分析场论§2数量场的方向导数与梯度1.场论概述2.数量场的等值线3.方向导数4.梯度返回后页前页-21-工程数学---------向量分析场论1.场：与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个场.如果该物理量是数量，称它为数量场；如果该物理量是向量，称它为向量场或矢量场.分别用(,,)uuxyz(,,)AAxyz表示.及则称在该空间定义了关于返回后页前页-22-工程数学---------向量分析场论2.数量场的等值面在数量场中，(,,)uuxyz称曲面为该(,,)uxyzc数量场的等值面.在平面场中，称曲线(,)uuxy为它的等值线,如等温线、等高线等.(,)uxyc一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，而且互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值线返回后页前页-23-工程数学---------向量分析场论3.方向导数定义：设0M是数量场()uuM中的一点，0000()()limlimMMMMuMuMuMM存在，则称此极限为在点()uM0M处沿l方向的方向导数，记作0MullM0M若沿方向l返回后页前页-24-工程数学---------向量分析场论定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,coscoscosuuuulxyz证:且有得若函数(,,)uuxyz在点0000(,,)Mxyz处可微，()uuuuxyzoxyz(coscoscos)()uuuoxyz故0limcoscoscosuuuuulxyz在点可微,(,,)uxyz0M由函数返回后页前页-25-工程数学---------向量分析场论定义：设0M是数量场()uuM中的一点，0000()()limlimMMMMuMuMusMM存在，则称此极限为在点()uM0M处沿曲线C(正向)的记作0Musl若沿曲线C之正向C方向导数，定理:曲线C光滑，uusl(,,)uuxyz若在点(,,)Mxyz处函数可微、l为C在M处的切线方向(正向)，则0MM返回后页前页-26-工程数学---------向量分析场论例1.(2,3,3)M20zxy在点是曲面n设处指向下侧的法向量，求函数uxyz在点M处沿的方向导数.n解:方向余弦为3cos,172cos,172cos17而(3,2,2)(,,2)Myx法向量为(3,2,2)n所以9,MMuyzx6,Muy6Muz所以(coscoscos)MMuuuunxyz2717返回后页前页-27-工程数学---------向量分析场论例2.朝x增大方向的方向导数.解:它在点P的切向量为,171cos1760xoy2Prxiyj4ij174cos1在点P(2,3)沿曲线求函数MMuusl(2)PPrixj2(1)xixj将已知曲线用向量形式表示为返回后页前页-28-工程数学---------向量分析场论2.梯度记作gradu,即定义：称向量uuuGijkxyz为数量场u(M)在(,,),uuxyz设有数量场在点(,,)Mxyz处,点M处的梯度,uuuijkxyzgradu引入哈密顿算子：ijkxyzgraduu有返回后页前页-29-工程数学---------向量分析场论性质：方向：u变化率最大的方向模:u的最大变化率之值grad:u1)0gradgradluulul2)3)gradMu为等值面(,,)uxyzC在点M处的法向量，u(M)增大的一方.gradnuuCM指向数量场注：称为由数量场u产生的梯度场.gradu向量场返回后页前页-30-工程数学---------向量分析场论(1)0C(2)()CuCu(3)()uvuv(4)()uvuvvu(6)()()fufuu运算公式2(5)()uvuuvvv返回后页前页-31-工程数学---------向量分析场论例3.证:)(rfyrf)()(gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(222zyxxPxozy,)(ryrfixrf