数学建模-微分方程模型

§2传染病模型§3战争模型§4最优捕鱼问题§1微分方程模型微分方程模型§1微分方程模型一、微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。dtdw模型假设1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为W0。2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为W(t)是关于连续t而且充分光滑的。3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具体的数值，得输入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天=69（焦/公斤•天）×（公斤）=69（焦/天）。体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），当△t→0时，它等于dW/dt。考虑单位的匹配，利用“公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”,可建立如下微分方程模型00|1000016129641868695429模型求解用变量分离法求解，模型方程等价于积分得10000160)161296(161296teWW从而求得模型解就描述了此人的体重随时间变化的规律。现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W→81。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，W是不发生变化的。所以这就非常直接地给出了W平衡=81。所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！至此，问题已基本上得以解决。一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：(1)根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。(3)模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法。§2传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型21/2tmii010t11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1itLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([建模/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)]11([iidtdi模型3i0i0接触数=1~阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is~ttitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(sisi101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/的估计0ln1000sssis0i忽略•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型§3战争模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型•每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力•每方非战斗减员率与本方兵力成正比•甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型)()(tvybxytuxayx正规战争模型•甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战xxprbbxg,•忽略非战斗减员•假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，py~命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时平方律模型甲方胜0k平局0kyyxxprprabxy200乙方胜游击战争模型双方都用游击部队作战•甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加•忽略非战斗减员•假设没有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线性律模型甲方胜0m平局0mcddxdy)(ty)(tx0乙方胜,0n平局,0n甲方胜,0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n100)/(200xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)•再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）•再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析•在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。•如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景§4最优捕鱼问题ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记产量模型假设•无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律•单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足•不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性)1()(xFx一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点000xxxxx设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0xtxt称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t),判断x0稳定性的