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1•教材丁丽娟,程杞元,《数值计算方法》,高等教育出版社•参考书各工科院校相应教材清华大学,哈工大,西安交大等2•最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%)•实验作业:下列1和2选择一个1.自选题(结合专业),作业中包含下列内容(1)实际问题(2)数学模型(例如,解常微分方程组,数据拟合等)(3)计算方法(4)程序(matlab)(5)计算结果及分析考试前交3•最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%)•实验作业:下列1和2选择一个2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道)作业中包含下列内容(1)题目(课本外的说明出处)(2)程序(matlab)(3)计算结果及分析4月1日前交一次,考试前交一次。4•打印稿(不需要计算过程),或电子文档•注明学院、专业•完全相同的实验作业没有实验作业成绩•答疑:课间周二、四中午12:40—13:40中心教学楼816•建议或问题:manhy@bit.edu.cn5问题:数值计算方法是做什么用的?数值计算求各种数学问题近似解的方法和理论计算机数学模型实际问题近似解6主要内容•数值代数线性方程组求解(第二章,第三章)特征值计算(第四章)•数值逼近插值法(第五章)函数逼近(第六章)•数值微分数值积分(第七章)•非线性方程求解(第八章)•常微分方程数值解法(第九章)7第一章误差§1误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——截断误差机器字长有限——舍入误差2462(1)cos1......2!4!6!(2)!nnxxxxxn2cos1(||)2!xxx很小时,4||.24x截断误差8§2绝对误差、相对误差和有效数字2.1绝对误差与相对误差的一个近似值为准确值设xx**()ex=**()exxx=-εxx*或*():ex绝对误差:ε绝对误差限:可以表示为:注绝对误差限不唯一ε**xεxxε*xx-9例:*765mm,xx用毫米刻度的米尺测量一长度为,如读出的长度是其绝对误差限为0.5mmx准确值:7650.5(mm)x764.5mm765.5mmx[764.5mm,765.5mm].x10四舍五入的原则:1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位2.舍入部分刚好是末位数的半个单位,使末位凑成偶数例:0.7135,0.7765,0.73251分别取三位小数0.714,0.776,0.733一般地,凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.上述各近似值的绝对误差限:31102四舍六入五成双11例:测得会议室的长为30m宽为10m,长的误差不超过5cm,宽的误差不超过2cm,如何表示?()30y长哪一个精度高?()100.02()xm宽0.05()m一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关,还和该量的大小有关.为了更好地反映测量值的精度,引入12**()()exxerx*|()|rrexε两种误差限的关系:*||εx*||rεxε()rεx**()exx*():rex相对误差:rε相对误差限*()0.05()0.001630rεyεyyrε***()()exxerx上例,*()εxx0.020.002100.00213例:...)6237310...(1.4142135414.12是经过四舍五入得到的近似值,则ε绝对误差限31102rε相对误差限30.5101.4140.035%142.2有效数字xxx作为的近似值,其绝对误差限为某一位*1||102nxxxn即准确到小数点后第位,x从左边第一个非上数字的半个单位零数字到该位的所有数字均称为有效数字.15例如005800.01021005800.0.1*6xx表示近似值准确到小数点后第位,*214520467.x.若具有位有效数字,则其准确到小数点后第位,311023绝对误差限:6*x有位有效数字4162=1.41421356237310......例:*=1.4142132x做为的近似值,有几位有效数字?解:*|()|ex有位有效数字51102准确到小数点后第位,*4*12376490,=102xεx例:若且,有几位有效数字?*x准确到位,*x有位有效数字,解:564103它们分别是2,3,7*||0.0000005623xx17有效数字另一等价定义x将表示成规范形式:1102mnxx120.......10mnxaaam其中为整数,xxn则做为的近似值有位有效数字当且仅当n09,ia为10,a1810n准确到位1102mnε=绝对误差限有效数字绝对误差限问题:有效数字的位数和精确度的关系?1102nε=120.......10mnxaaa确定几位有效数字n有位有效数字考虑相对误差限与有效数字的关系19)0(10..........0:1.1121*aaaaxmn定理*rx1102nm11**1021)(nraxnx位有效数字有位有效数字至少有nxaxnr*11*10)1(21)(反之1102mn111102na||rx111102(1)na110.10mnaa10.(1)10ma说明:有效数字位数越多相对误差限越小20解:(用绝对误差限和有效数字的关系)||rεεx20.410需要准确到小数点后第位,取三位有效数字.32010要使绝对误差限满足注:也可以用相对误差限和有效数字的关系200.1%例:为使的近似值的相对误差限小于要取几位有效数字?二21至少有几位有效数字?问,的相对误差限是例:已知**%0.3xx19a*10.10mnxaa设位有效数字至少有nxaxnr*11*10)1(21)(1110)1(21%3.0na为使2n得,有两位有效数字解1:相对误差限和有效数字的关系取最小值22||*xr*=0.3%||x0.3%110m20.510m解2:(用绝对误差限和有效数字的关系)至少有几位有效数字?问,的相对误差限是例:已知**%0.3xx*10.10mnxaa设取最大值有两位有效数字问题:假定1.21及运算过程精确到两位小数,**1.21ln1.21,yy或*y精确到哪一位?()yfx若,**()()()eyfxfx则***()|()|()εyfxεx**()()fxex误差的传播*d()fx24§3数值计算中误差的传播3.1基本运算中的误差传播的近似值,则为处可微,在点设iinnxxxxxfxxxfy*2121),...,(),...,,(****1212()(,...,)(,,...,)nneyfxxxfxxx***n*12i1(,,...,)()niiifxxxxxx**1d(,...,)nfxx***n*12i1(,,...,)()niifxxxexx***()()reyeyy***n**12i1(,,...,)()()niifxxxeyexx****n12**i11(,,...,)()(,...,)niinfxxxexxfxx****n*12**i11(,,...,)()(,...,)niriinfxxxxexxfxx261122()()()rrrxeexexx1212()()()rrrexxexex12()xex12()exx特别地,和、差、积、商的误差公式为:1212121212()()()rrrxxexxexexxxxx12()()exex12()exx2112()()xexxex1122221()()xexexxx27121212121122()()()()()()()()()rrrrrrεxxεxεxεxxεxεxxεεxεxx即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和,积、商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和.例假定运算中数据都精确到两位小数,试求81.965.321.1*x的绝对误差限和相对误差限,计算结果有几位有效数字?解:*5.3935x)81.9()65.3(21.1)21.1(65.3)(*eeexe0293.01021)121.165.3()81.9()65.3(21.1)21.1(65.3)(2*x11102准确到小数点后第一位,计算结果有2位有效数字.290054.03935.50293.0)()(***xxxr故计算结果有2位有效数字.2110.0083102(51)*5.3935x30?,,1001,:相对误差最大为多少时问测量半径为使其相对误差限为计算球的体积例R34:3RV由解)(4)(2ReRVe)(3)(3)()(ReRReVVeVerr.3001)(1001)(最大为得由RVrr,()nryxey注:一般的,若则1()()()nneyexnxex,()()()rreyeynexy()rnex313.2算法的数值稳定性算法:设计由已知数据计算问题结果的运算顺序10:(0,1,2,...)5nnxIdxnx例计算下列积分的近似值15nnII11055nnxxdxx1101nxdxn稳定性:在算法的计算过程中,数据误差和舍入误差在计算过程中不增长,则称算法是数值稳定的;否则称算法是数值不稳定的.32算法Ⅰ*010018232155.02.1ln51IdxxI取)...,2,1(511nInInn按公式12,,.II依次计算的近似值nIInn15133n(算法Ⅰ)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI34nI估计0122222.0)751901(21*14I116(1)5(1)nInn10d5nnxIxx105nnxIx110011dd65nnxxxx*14-41.45561831I35算法Ⅱ由于取)1(51)1(6121*nnIn按公式)1(511kkIkI)1,...,1,(nnk)...,2,1(151nnIInn计算0122222.0)751901(21*14I例如36n(算法Ⅰ)(算法Ⅱ)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.0343063350.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222*nI*nI0011.0)901751(2114116(1)5(1)nInn*14I准确到小数点后第二位370*00eII
本文标题:北京理工大学数值分析1
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