大学物理2-(3)势能、机械能守恒定律

第十五章机械波15–8多普勒效应1掌握功的概念,能计算变力的功,理解保守力作功的特点及势能的概念,会计算万有引力、重力和弹性力的势能.2掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律,掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法.§2.1-3教学基本要求§2--3势能、机械能守恒定律下面进一步考虑保守内力作功的特点一、保守力的功、势能保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置.（例如重力、弹性力、万有引力）非保守力:力所作的功与路径有关.（例如摩擦力）mgdy==(+mgj).(dxidyj)yy=()abmgmgdAdr=G.yxoyyaabbdrGmgdy=A1.重力的功若物体从a出发经任意路径回到a点，则有:Adr=G.=0物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零.MmrGF=2cos=()Fds90+0θ2.万有引力的功=dAFdr.MmrG=2drMmrGsinθ=2dsrabθrdsF太阳地球Mmrdrab))((=abGMmGMmrrMmGA2=rrabdrr3.弹簧弹性力的功Fkx=kxdx=Fdx=dAkx=ab()1221kx22x自然长度弹簧xFokxdx=baAxx*保守力的定义：drF.=0或：若有一个力能满足条件：则称此力为保守力。若力F对物体所作的功决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关，称此力为保守力。如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力。第十五章机械波15–8多普勒效应[例]一根特殊弹簧，在伸长xm时，沿它伸长的反方向的作用力为(52.8x+38.4x2)N。试求把弹簧从x=0.50拉长到x=1.00时，外力克服弹簧力所作的功。11.219.831（J）==+AFx=d解：=+()x20.5x1dx52.838.4第十五章机械波15–8多普勒效应)3()2(2121)1(22baabbaabbaabrMmGrMmGAkxkxAmghmghA重力的功：弹力的功：万有引力的功：三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位置有关的两个位置函数之差。既然功是能量变化的量度，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位置函数必代表一种能量----位能(或势能)。因它决定于物体的位置状态（势）势能与物体间相互作用及相对位置有关的能量.第十五章机械波15–8多普勒效应上式写成一般形式：(4)abpapbpAEEE2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位置称为参考点。例如规定0pbE则a点的势能abpaAE上式只给出了势能之差的表达式。（4）式右边的两项都加以或减以一个常数，等式仍成立。这说明：1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值参aabPardFAE第十五章机械波15–8多普勒效应因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考点选择以后势能的值就是唯一的了。只有物体之间的相互作用力是保守力，才能建立势能的概念。例如就不能引入摩擦力势能的概念。参考点mmmm1l2l3lA1A2A3注意第十五章机械波15–8多普勒效应计算势能可以任选一个你认为方便的路径。例：重力势能，以地面为参考点，势能选取从a---b点的路径，则：0hPaaEFdrmgdymgh参例：弹性势能，以弹簧的平衡位置为势能零点0212aaxkxdxkxpaaEFdr参abmgFoax第十五章机械波15–8多普勒效应例：万有引力势能，选取远为势能的零点paaEFdraMmGr2arMmGdrrM地FFFFFaraF第十五章机械波15–8多普勒效应势能的值是相对参考点而言的，参考点选择不同势能的值不同。cab如何选择参考点：原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则。重力势能零点可以任意选取。万有引力势能常以无穷远为参考点。弹性势能选平衡位置为势能零点。第十五章机械波15–8多普勒效应势能是属于相互作用的物体系统所共有，若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。“某物体的势能”只是习惯的说法。第十五章机械波15–8多普勒效应前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的变形。二、功能原理第一个质点：)1()1(112kkEEA＝）（合第二个质点：)2()2(212kkEEA＝）（合第n个质点：)()(12nknknEEA＝）（合、、、、、、、1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13F第十五章机械波15–8多普勒效应1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13F2221112112(1)(2)()(1)(2)()[][]nnkkknkkkkkAAAAEEEEEEEELLL（）（）（）合合合合＝合力外力内力保守内力非保守内力A合＝A外＋A保守内力＋A非保守内力＝Ek2－Ek1－（Ep2－Ep1）第十五章机械波15–8多普勒效应“同状态的量”合并：令称为系统的机械能式中21EE,分别为作功前后系统的机械能A外＋A非保守内力=(Ek2－Ek1）+【（Ep2－Ep1）】A外＋A非保守内力=(Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）EEEpk21AAEE外非保守内力----系统的功能原理第十五章机械波15–8多普勒效应1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变系统的机械能.功能原理:系统的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之总和.例:提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动是靠非保守内力---磨擦力.2）功能原理与动能定理并无本质差别,区别在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功.动能原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.21AAEE外非保守内力说明第十五章机械波15–8多普勒效应0非保守内力外力当：AA12EE或：1122pkpkEEEE机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以外，其它外力及和非保守内力都不作功，那么系统的总机械能保持不变。(0)外力非保守内力AA三、机械能守恒定律pkEE12EE第十五章机械波15–8多普勒效应0非保守内力外力AA2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。1）机械能守恒的条件：并非：0非保守内力外力FF对与一个与自然界无任何联系的系统来说,系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，这一结论叫做能量守恒定律.注意第十五章机械波15–8多普勒效应例1一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处.若摩擦因数为0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力.)第十五章机械波15–8多普勒效应NFfFPsinPcosPh's已知,m500',050.0,m50sh求.s解以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得f21AEEfAcos'(')mgsmgsmgssmghEE12又第十五章机械波15–8多普勒效应)'(ssmgmgh可得NFfFPsinPcosPh'sf21AEE由功能原理m500'shs代入已知数据有,m500',050.0,m50shfA(')mgss第十五章机械波15–8多普勒效应例2有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数.解以弹簧、小球和地球为一系统，30oPBRABA只有保守内力做功系统机械能守恒ABEE0pE取图中点为重力势能零点B第十五章机械波15–8多普勒效应又RmmgkRB2v所以Rmgk2即)30sin2(212122mgRkRmBv30oPBRA0pE系统机械能守恒ABEE图中点为重力势能零点B第十五章机械波15–8多普勒效应四宇宙速度牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度第十五章机械波15–8多普勒效应设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERmvh``````解取抛体和地球为一系统，系统的机械能E守恒.1）人造地球卫星第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度.1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv第十五章机械波15–8多普勒效应解得hRGmRGmEEEE12vvh``````)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛顿第二定律和万有引力定律得第十五章机械波15–8多普勒效应vh``````2EERGmg)2(EEE1hRRgRv地球表面附近hRE故E1gRvm/s109.731v计算得第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v第十五章机械波15–8多普勒效应我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星第十五章机械波15–8多普勒效应2）人造行星第二宇宙速度0)(21pkEE22EERmmGmEv``````vh设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERm第二宇宙速度，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度.2vE取抛体和地球为一系统系统机械能守恒.0;0,vFr当若此时则第十五章机械波15–8多普勒效应EEE222gRRGmv第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEv``````vhkm/s2.112v计算得第十五章机械波15–8多普勒效应3）飞出太阳系第三宇宙速度第三宇宙速度，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度.3vvh设地球质量,抛体质量,地球半径,EmERm太阳质量,抛体与太阳相距.SmSR第十五章机械波15–8多普勒效应取地球为参考系,由机械能守恒得2EE2321)(21v'vmRmmGm取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚,其相对于地球的速率为.v'取太阳为参考系,抛体相对于太阳的速度为，3'v地球相对于太阳的速度E3''vvv则如与同向,有E'vvE3''vvv第十五章机械波15–8多普勒效应要脱离太阳引力，机械能至少为零0)(21pkSS23EERmmGmEv'21SS3)2(RGmv'则由于与同向,则抛体与太阳的距离即为地球轨道半径设地球绕太阳轨道近似为一圆，E3'vvSR则2SSES2EERmmGRmv21SSE)(RmGv第十五章机械波15–8多普勒效应1-21EE23s.4km16)2(RmGv'v计算得第三宇宙速度2EE2321)(21v'vmRmmGm取地球为参照系vhE3vv'v'21SS))(12(RGmv'计算得第十五章机械波15–8多普勒效应例一条均匀链条，质量为m，总长，m成直线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为。现已知链条下垂长度为a时，链条开始下滑，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。laal,已知：v求：解：法1）利用动能定理v以链条为研究对象0212mvAAfp求重力的功：ygdydAp)/(lmNlapgydyAxYygf第十五章机械波15–8多普勒效应axY求重力的功：ygdydApvfmg)/(lmNlapgydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功：0alffdxAalxgdx02)(2alg2)(2allmg第