24.2.1 点和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系一、课前预习(5分钟训练)1.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.2.点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为()A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不确定4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在()A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外二、课中强化(10分钟训练)1.已知⊙O的半径为3.6cm，线段OA=725cm，则点A与⊙O的位置关系是()A.A点在圆外B.A点在⊙O上C.A点在⊙O内D.不能确定2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图24-2-1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.图24-2-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是()A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=142.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.图24-2-1-24.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-1-3回答下列问题：(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(3)边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm，这两个圆的圆心距是________cm.5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-1-47.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.图24-2-1-58.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)图24-2-1-6参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.解：（1）当d=4cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；（2）当d=5cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.2.点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.思路解析：根据点和圆的位置关系判定.答案：0≤d＜33.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为()A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不确定思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP的长,再与半径进行比较.∵AP=22)48()35(=2242=20＜5，所以点P在圆内.答案：A4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在()A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外思路解析：点A在两圆组成的圆环内.答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.已知⊙O的半径为3.6cm，线段OA=725cm，则点A与⊙O的位置关系是()A.A点在圆外B.A点在⊙O上C.A点在⊙O内D.不能确定思路解析：用“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”来判定点与圆的位置关系.答案：C2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外思路解析：比较OP与半径r的关系.∵OP=2224=25，OP2=20,r2=25，∴OP＜r.∴点P在⊙O内.答案：A3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有()A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：如图，连结CD.∵D为AB的中点，∴CD=21AB.∵AB=22BCAC=42，∴CD=22＜4.∵AC=BC=4，∴点C和点D在以C为圆心，4cm为半径的圆的内部.答案：B4.如图24-2-1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.思路解析：AB=25cm，CM=5cm.答案：点B点M点A、C图24-2-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是()A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=14思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）.答案：C2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm思路解析：AB=2286=10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C的距离是斜边的中线长为21AB=5cm.答案：A3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.图24-2-1-2思路分析：设水泵站处为O，则O到A、B、C三点的距离相等，可得点O为△ABC的外心.作法：连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线l、l′，直线l与l′相交于O，则水泵站建在点O处，由以上作法知，点O为△ABC的外心，则有OA=OB=OC.4.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-1-3回答下列问题：(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(3)边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm，这两个圆的圆心距是________cm.思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r的最小值是22cm.（2）等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r的最小值是33cm.（3）r的最小值是22cm，圆心距是1cm.答案:(1)22(2)33(3)221点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题.5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.思路分析：由a、b是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是22ba，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边.[来源:学+科+网Z+X+X+K]解：设Rt△ABC的斜边为c，∵a、b为方程x2－3x＋1=0的两根，∴a＋b=3，ab=1.由勾股定理，得c2=a2＋b2=（a＋b）2－2ab=9－2=7.∴△ABC的外接圆面积S=π·（2c）2=π42c=4c2=4×7=47.6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-1-4思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°.(2)连结BC、EH，它们交于点O.则BC为直径，点O为圆心.7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;图24-2-1-5(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.思路分析：过A、B、C三点画圆，以△ABC为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形.[来源:Z+xx+k.Com]解：（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上,图(1).(2)作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上,图(2).（3）如图(3)，∵r=OB=334，∴S⊙O=πr2=316≈16.75，又S平行四边形=2S△ABC=2×21×4×2×23=83≈13.86,∵S⊙OS平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大.8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)图24-2-1-6解：可以切割出66个小正方形.方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05m的圆内.如图中的矩形AB