55直线与圆的位置关系(切线长定理)

5.5直线与圆的位置关系(切线长定理)2、切线的判定定理：3、切线的性质定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径1.什么是圆的切线.答：直线和圆有时，这条直线叫做这个圆的切线唯一公共点4、常见辅助线.A.O.A.O.A.O（1）过圆内已知点不能作圆的切线（2）过圆上已知点可作圆的唯一一条切线。（3）过圆外一已知点可作圆的两条切线。过平面内一点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？想一想？情境问题1.如图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？？探索活动OP.2.如何过⊙O外一点P作⊙O的切线?AB探索！切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。.Po..A.B几何语言表示为：∵，∴,.PA,PB为⊙0的切线PA=PBOP平分∠APBAAAAA小心:(1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量.(2)切线长是一条线段的长，它是一个数,可以度量.(3)切线长不是切线的长12.P.Ao..BEFD如图所示：P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，直线OP交AB于D，交⊙O于E、F则图中：（1）共有对相等线段（圆的半径除外）;（2）共有对相等的劣弧;（3）共有个直角三角形。（4）共有个等腰三角形。2262.p.Ao..B认知强化已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离OP=6厘米，经过点P和⊙O的两条切线分别为PA、PB，求这两条切线的夹角及切线长。解：连结OA，∵PA是⊙O的切线OA是半径∴OA⊥PA,在Rt△POA,∵OA=3,OP=62236933PAOPOA厘米．.P.Ao..BEDC1：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E,交AB于C。(1)写出图中所有的垂直关系:。(2)写出图中所有的全等三角形:。(3)如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长。学习活动OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP解:设OA＝Xcm;则OP=OD+PD=X+2(cm)PA=4cm在Rt△OAP中，解之得X=3cm22222224xxOPOAPA　　　　　即　　　所以，半径OA的长为3cm注意：由切线长可得到一个等腰三角形。这一点和圆心的连线垂直平分两切点间的线段。学习活动2：圆外切四边形的两组对边的和相等。.oBACDPMNL如图：已知四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙o分别相切于点L,M,N,P求证：AB+CD=AD+BC证明：∵AB,BC,CD,DA都和⊙o相切，L,M,N,P是切点∴AL=AP,BL=BM,CN=CM,DN=DP,∴AL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP=AP+DP+MB+MC即AB+CD=AD+BC1.如图，已知P为⊙O外一点，PA,PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP.扩展提高o..CPAB想：要证AC∥OP，题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB,若能证出OP⊥AB,问题就解决。那么OP⊥AB要怎样论证呢？证明：PA,PB为⊙O的切线APB.OPPB,PA平分ABOPBC为⊙O的直径ABCAAC∥OP2.如图，在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,BD和CE的长。扩展提高ABCDEF.Oxyzyxz解：∵AB,AC分别切⊙O于F,E.∴AF=AE同理：BF=BD,CD=CE设AF=x,BD=y,CE=Z.91413xzzyyx依题意得：594zyx解得：答：切线长AF＝4厘米，BD=9厘米，CE＝5厘米。总结：1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言表示为：∵PA,PB为⊙0的切线，∴PA=PB,OP平分∠APB。3.由切线长可得到一个等腰三角形。这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段。.A.Po..BFD