初中数学【9年级上】22.3

22.3实际问题与二次函数知识点知识点利用二次函数解决实际问题由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数取最大值或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大(小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型,求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题.求解此类问题的一般步骤如下:(1)列出二次函数解析式;(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;(3)求二次函数的最大值或最小值;(4)解决实际问题.知识点名师解读:对于实际问题中的最大(小)值,要注意有时并不是抛物线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内,此时应根据二次函数图象(抛物线的一段或一部分有意义的点)的增减性进行解答.知识点例题为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数解析式.(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?知识点分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案;(2)利用二次函数最值求法得出x=-时,w取到最值,进而得出答案.解:(1)由题意得w=(x-20)y=(x-20)·(-2x+80)=-2x2+120x-1600,故w与x的函数解析式为w=-2x2+120x-1600.(2)w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,∵-20,∴当x=30时,w有最大值,最大值为200.即该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大利润为200元.𝑏2𝑎知识点解答这类应用题,先把实际问题转化成数学问题,建立二次函数模型,用待定系数法确定二次函数解析式,然后求出二次函数的最大值或最小值解决问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值例1已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C.有最小值-1,有最大值3D.有最小值-1,无最大值拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解析:由图可知,该二次函数在x=1时,有最小值-1,x=3时,有最大值3.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五对于求自变量的取值有一定的范围的二次函数的最值的问题,首先要看顶点是否在其范围内,如果在,若a0,则有最小值,若a0,则有最大值;如果不在,则根据二次函数的增减性进行解答,但是对于自变量是像m≤x≤n(mn)的形式的问题,函数图象是抛物线的一段,则有可能既有最小值,也有最大值,具体根据图象解答.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二利用二次函数求图形面积的最值问题例2新时代中学为了搞好校园环境,准备在围墙边设计一个长方形的自行车棚,一边利用围墙,并且已有总长32m的铁围栏,为了方便出入,在平行于墙的一边留有一个2m宽的门.(1)如果要使这个车棚的面积为144m2,请你设计长和宽;(2)要使车棚的面积最大,请你设计长和宽.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)设垂直于墙的铁围栏为xm,则平行于墙的一边长为(32-2x+2)m,根据长方形的面积公式即可列方程求解;(2)设这个车棚的面积为ym2,由(1)的数量关系得出二次函数,利用配方法求得最大值即可.解:(1)设宽为xm,则长为32-2x+2=(34-2x)m,依题意可列方程x(34-2x)=144,即-2x2+34x-144=0,解得x1=8,x2=9.当x1=8时,32-2x+2=18,当x2=9时,32-2x+2=16.所以这个车棚的长为18m,宽为8m或长为16m,宽为9m.(2)设这个车棚的面积为ym2,由题意得y=x(34-2x)=-2x2+34x=-2(x-8.5)2+144.5.要使车棚面积最大,长应为17m,宽应为8.5m.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五求图形最大(小)面积问题时,先把图形的面积表示成其中一个变量的二次函数,通过二次函数的最值进行求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三利用二次函数确定最大利润问题例3某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件.(1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价;(2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多?并求出最大利润.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件商品涨价x元,则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,每天销售量为(200-20x)件,依题意,得(x+2)(200-20x)=700.整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5.∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.答:把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.(2)设应将售价定为x元时,才能使每天获得的利润最大为y元,根据题意得y=(x-8)=-20x2+560x-3200=-20(x2-28x)-3200=-20(x2-28x+196)-3200+20×196=-20(x-14)2+720,∴x=14时,y最大,最大值为720.答:应将售价定为14元时,才能使每天获得的利润最大,最大利润为720元.200-𝑥-100.5×10拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决求最大利润问题,先根据已知条件把利润表示成价格的二次函数,然后根据二次函数的最值求解,注意自变量的取值范围如果不包含顶点的横坐标时,要使实际问题有意义.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四利用二次函数解答运动路线或运动距离问题例4立定跳远时,以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴(假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上),地平线为x轴,建立平面直角坐标系(如图),则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2(x-1)2+0.7的抛物线,在最后落地时重心离地面0.3m(假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五(1)小明在这一跳中,重心离地面最高时距离地面多少米?此时他离起跳点的水平距离有多少米?(2)小明此跳在起跳时重心离地面有多高?(3)小明这一跳能得满分吗?(2.40m为满分)解:(1)∵y=-0.2(x-1)2+0.7,∴抛物线的顶点坐标为(1,0.7),∴重心离地面最高时距离地面0.7m,此时他离起跳点的水平距离有1m.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五(2)当x=0时,y=-0.2(0-1)2+0.7=0.5,∴小明此跳在起跳时重心离地面有0.5m高.(3)当y=0.3时,0.3=-0.2(x-1)2+0.7,解得x1=1-2(舍去),x2=1+2,小明的成绩为(1+2)m.∵1+22.4,∴小明这一跳能得满分.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答生活中的实际问题,关键是把实际问题转化成数学问题,对于路线是抛物线的问题,关键是看问题的要求符合抛物线的哪一方面的性质(或关键点),然后利用二次函数的相关性质进行解答.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五利用二次函数解决方案选择问题例5某超市计划上两个新项目:项目一:销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx.当投资5万元时,可获得利润2万元;项目二:销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.当投资4万元时,可获得利润3.2万元;当投资2万元时,可获得利润2.4万元.(1)请分别求出上述的正比例函数解析式和二次函数解析式;(2)如果超市同时对A,B两种商品共投资12万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案获得的最大利润是多少.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)∵销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx,当投资5万元时,可获得利润2万元,∴yA=0.4x.∵销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx,当投资4万元时,可获得利润3.2万元,当投资2万元时,可获得利润2.4万元,∴3.2=16𝑎+4𝑏,2.4=4𝑎+2𝑏,解得𝑎=-0.2,𝑏=1.6,∴yB=-0.2x2+1.6x.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(12-x)万元.由(1)可知所获得的利润W=-0.2x2+1.6x+0.4(12-x)=-0.2(x-3)2+6.6.∴当x=3时,W取最大值.∴投资A,B两种商品的金额分别为9万元,3万元,可获得最大利润6.6万元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决方案选择问题,关键是正确把握题目的数量关系,然后根据数量关系列出函数解析式,利用函数解析式和相关知识解决问题.