初中数学【9年级下】类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法

第1页共3页类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)若FD＝2FB，求FDFC的值；(2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．第2页共3页◆类型二利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：ABAE＝ACAD.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.第3页共3页参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG.(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴AGFG＝EGAG，∴AG2＝GE·GF.2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝15∶215＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝53，∴S△BDCS△BCA＝BC2AB2＝15，∴S△BDC＝15×12×215×15＝3.∵△BDF∽△DCF，∴S△FBDS△FDC＝BDCD2＝14，即S△BDCS△FDC＝34.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4.3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE＝ACAB.又∵AB＝AD，∴ABAE＝ACAD.4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴CEBE＝AECE，∴CE2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴PEBE＝AEDE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE.