整式的乘法与因式分解复习

整式的乘法同底数幂的乘法:am.an=am+n幂的乘方：(am)n=amn积的乘方:(ab)n=anbn预备知识1.单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。如4a2yx5.(-3ab2x)2.单项式乘以多项式：转化单项式乘以单项式m(a+b+c)=ma+mb+mc再如（ab2-2ab).ab3221如（-4x2).(2x-y-1)3.多项式乘以多项式：转化单项式乘以多项式(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如(x-y)(x2+xy+y2)相反变形难点am+n=am.anamn=(am)nan.bn=(ab)n想一想a2a3a5+=(1)a2aa2·=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2()3=x5(4)··47(6)(-5)(-5)=511(-3)2·33=(-3)5(7)2(5)35a·2a=10a6(3)a3a3=2a3练习一1.计算(1)100.10m+1.10m-2(2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3(4)(xy3n)2+(xy6)n(5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2)(7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3(9)(x-2y)2(y-2x)3注意：通过以上练习可知，公式中的a既可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。2.(1).-x2y2.xyz(2)(a2+ab-0.6b2).(-a2b2)(3)(2x+y)(x-3y)(4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n)(6)若ab2=-1,则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少？43322334比一比算计(1)3x2()3-7x3[]x3-x4x2+1()a2()-2b2a+2b()-2ab(a-b)(2)先化简，再求值:其中a=1,b=21.公式的逆向使用nmnmaaamnnmmnaaabababa323210102101710410）　（）　（，求下列各式的值＝，　＝已知（3）已知2m=3，2n=5，求23m+2n+2的值.1、若10x=5,10y=4,求102x+3y+1的值.2、计算：0.251000×（-2）20016701004)271()9.(3注意点：（1）指数：相加底数相乘转化（2）指数：乘法幂的乘方转化（3）底数：不同底数同底数转化（3）（1）0．12516·(－8)17；（2）逆用公式即baabnnn）（）（abbannn5050505050931244331515)2(125.0公式的反向使用试用简便方法计算:(ab)n=an·bn（m,n都是正整数）反向使用:an·bn=(ab)n(1)23×53;(2)(-5)16×(-2)15(3)24×44×(-0.125)4;整式的乘法1.单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式逆运算预备知识am÷an=am-n当m=n时，规定：a0=1(a≠0)整式的除法1.单项式除以单项式2.多项式除以单项式3.多项式除以多项式单项式相除，把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。如20x4y2z÷(-x3y2)(-2a2b3c)2÷a3b241单÷单转化(a+b)÷m=a÷m+b÷m如(0.25a2b-0.5a3b2-a4b3)÷(-0.5a2b)41初中阶段不学习am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn特例乘法公式1.平方差公式2.完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相反变形因式分解(1)(-a)8÷(-a2)(2)-5a5b3c÷5a4b3(4)-3a2x4y3÷(-axy2)(5)(4×109)÷(-2×103)=-a6=-ac=3ax3y=-2×106(3)6m2n÷(-2mn)=-3m(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c)(3)(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2=a8b4c2=–10(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2=4x2y22234)21()212)(4(xxxx练习1.计算(1).x15÷x6(2).(-xy)10÷(-xy)8(3)a2m+4÷am-2(4).(x-2y)4÷(2y-x)3(5).(-a)5÷a32.计算(1).-3a7b4c÷9a4b2(2)28x4y2÷7x3y(3)4a3m+1÷(-8a2m-1)(4).8(m+n)5÷(-(m+n)3)(5).(8a2+ab+a)÷a(6).已知一个多项式除以多项式a2+4a-3所得的商式是2a+1,余式是2a+8,求这个多项式。•计算（一）：•（1）（2x＋3）（2x－3）•（2）（－x＋2）（－x－2）•（3）（－2x＋y）（2x＋y）•（4）（y－x）（－x－y）•(5)1998×2002填空(1).(a+)2=a2+6a+。(2).(2x-)2=4x2-+25(3).a2+b2=(a-b)2+。(4).(x-y)2+=(x+y)2想一想下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？(-x+6)(-x-6)=-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1)=(2)(3)(-2xy-1)(2xy-1)=1-2xy2计算(1).(5a+3)(5b-3)(2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4)(4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2(6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2(8).(-2x2-3y)2已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab=()(1)（A）1（B）-1（C）0（D）1或-1(C)(D)(2)如果4x+12xy+k是一个关于x、y的完全2平方式，则k=()(A)(B)3y29y2y36y2AB（3）如果a+a1=3,则a2+a21=()(A)7(B)9(C)10(D)11所以=9a+a1()2所以a+a1=922+2A故aa1=72+2因为a+a1=3解：(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是（）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b-12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算=[a-(2b-3)][a+(2b-3)]=a2-(2b-3)2=a2-(4b-12b+9)2=a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：是一个关于x、y的完全平如果4x2+kxy+9y2方式，则k=()填空22)2)(2()2)(1(nmnm：计算因式分解1.运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=.2).(a+b)(a-b)=.3).(a+b)2=.2.试一试填空:1).ma+mb+mc=m•()2).a2-b2=()()3).a2+2ab+b2=()2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?a+b+ca+ba+ba-b一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。定义理解概念判断哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法)43(43)6(2aaaaa两者都不是像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法.1)ma+mb+mc=m(a+b+c)2)a2-b2=(a+b)(a-b)3)a2+2ab+b2=(a+b)2注意事项•1)首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一个因式再考虑其他方法。x3-4x•2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。•x4-2x2y2+y4•3）因式分解要彻底。•4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。•m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)找出下列各多项式中的公因式2231218)3(525)2(1536)1(babaaabcba找一找公因式系数字母35a6a２b各项系数的最大公约数取每项中含有的相同字母问:多项式中的公因式是如何确定的？指数相同字母的最低次幂易错分析25)()()xyyxy2　x223)819ab24)84xx34x1、把下列各式分解因式：1）18-2b²2)x4–126)43(43)abab　22)2()1(25)7xx2.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y²2)-4a²+1分解因式的结果应是（）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)C.-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)DD拓展提高1.把下列多项式因式分解1).6x(a+2b)2-3x(a+2b)2).(b-a)2-2a+2b3).a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解1)13.8×0.125+86.2×2)0.73×32-0.32×633)33+112+664)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.巧计妙算183.解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解()()＋－x2－16练习：分解下列各式:（1）x2-16解：(1)（2）9m2-4n2xx４４()()＋－a2b2－aabb()()＋－＝……①＝x2－4242x2＝(2)9m2-4n23m3m()()＋－a2aabb……②＝(3m)2－(2n)2(2n)2(3m)2＝b2－＝2n2n平方差公式的应用题：1、利用分解因式简便计算(1)652-642(2)5.42-4.62(3)(4)22)412()435(222248252100解:652-642=(65+64)(65-64)=129×1=129解:5.42-4.62=(5.4+4.6)(5.4-4.6)=10×0.8=8答案:5答案:28提高题：2、已知,,求（a+b）2-(a-b)2的值。7522a4425b解:(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab当，时，原式=4××=7522a4425b75224425323、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。思考：•(a+b)2=a2+2ab+b2•(a-b)2=a2-2ab+b2•a2+2ab+b2=(a+b)2•a2-2ab+b2=(a-b)2完全平方公式•a2+2ab+b2=(a+b)2•a2-2ab+b2=(a-b)2•用他们可以把一个三项式分解因式的特点：•两项是两个数(式）的平方•另一项是加上(或减去)这两个数（式）积的两倍完全平方例题讲解(1)•x2-4x+4=x2-2·2x+22=(x-2)2•a2+2a+1=a2+2·a·1+12=（a+1）2•a2+10a+25=a2+2·a()+()2=(a+)2555•X2+12ax+36a2=X2+2·x·6a+(6a)2=(x+6a)2小练习(2)•4a2+25b2-20ab=(2a)2-2·2a·5b+(5b)2=(2a-5b)2•-8x2y-2x3-8xy2=-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)2动手做已知x=a+2b,y=a-2b，求:x+xy+y221、已知a+b=5，ab=-2，求（1）a2+b2（2）a-ba2+b