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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.4 三角函数的图象与性质
大一轮复习讲义第四章三角函数、解三角形考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在-π2,π2上的性质.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图知识梳理(1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),π2,1,,,(2π,0).(2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),π2,0,,,(2π,1).(π,0)3π2,-1(π,-1)3π2,02.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR_____________值域____________________周期性______________xx≠kπ+π2[-1,1][-1,1]Rπ2π2π奇偶性__________________奇函数递增区间_______________________________________________递减区间______________________________对称中心_______________________________对称轴方程____________________奇函数偶函数2kπ-π2,2kπ+π22kπ+π2,2kπ+3π2[2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π]kπ-π2,kπ+π2(kπ,0)kπ+π2,0kπ2,0x=kπ+π2x=kπ1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢?提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期.微思考2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件分别是什么?提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).π2题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(2)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.()(3)y=sin|x|是偶函数.()(4)由sinπ6+2π3=sinπ6知,2π3是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.()×√××2.函数f(x)=-2tan2x+π6的定义域是A.x∈Rx≠π6B.x∈Rx≠-π12C.x∈Rx≠kπ+π6k∈ZD.x∈Rx≠kπ2+π6k∈Z解析由2x+π6≠kπ+π2,k∈Z,√得x≠kπ2+π6,k∈Z.题组二教材改编3.下列函数中,是奇函数的是A.y=|cosx+1|B.y=1-sinxC.y=-3sin(2x+π)D.y=1-tanx√解析选项A中的函数是偶函数,选项B,D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;因为y=-3sin(2x+π)=3sin2x,所以是奇函数,选C.4.函数f(x)=cos2x+π4的最小正周期是_____.π5.(多选)已知函数f(x)=sinx-π2(x∈R),下列结论正确的是A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间0,π2上单调递增C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数题组三易错自纠√√√对于选项A,T=2π1=2π,所以选项A正确;解析由题意,可得f(x)=-cosx,对于选项B,y=cosx在0,π2上单调递减,所以函数f(x)在区间0,π2上单调递增,所以选项B正确;对于选项C,f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x),所以函数是偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,所以选项C正确;选项D错误.故选ABC.解析由x+π4=kπ2,k∈Z,得x=kπ2-π4,k∈Z,6.函数y=tanx+π4的图象的对称中心是________________.kπ2-π4,0,k∈Z∴对称中心是kπ2-π4,0,k∈Z.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究例1(1)函数y=sinx-cosx的定义域为______________________.题型一三角函数的定义域和值域师生共研2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z)解析要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z.(2)当x∈π6,7π6时,函数y=3-sinx-2cos2x的值域为________.78,2解析因为x∈π6,7π6,所以sinx∈-12,1.又y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)=2sinx-142+78,所以当sinx=14时,ymin=78,当sinx=-12或sinx=1时,ymax=2.即函数的值域为78,2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).思维升华跟踪训练1(1)函数f(x)=ln(cosx)的定义域为A.kπ-π2,kπ+π2,k∈ZB.(kπ,kπ+π),k∈ZC.2kπ-π2,2kπ+π2,k∈ZD.(2kπ,2kπ+π),k∈Z√∴2kπ-π2x2kπ+π2,k∈Z,解析由题意知,cosx0,∴函数f(x)的定义域为2kπ-π2,2kπ+π2,k∈Z.-1+222,1(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为______________.解析设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinx·cosx,sinxcosx=1-t22,且-2≤t≤2.∴y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1,t∈[-2,2].当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=-1+222.∴函数的值域为-1+222,1.题型二三角函数的周期性与对称性自主演练1.下列函数中,是周期函数的为A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=tan|x|D.y=(x-1)0√解析∵cos|x|=cosx,∴y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.函数y=sinx-π4的对称轴为__________________,对称中心为__________________.x=3π4+kπ,k∈Zπ4+kπ,0,k∈Z解析由x-π4=π2+kπ,k∈Z,得x=3π4+kπ,k∈Z,由x-π4=kπ,k∈Z,得x=π4+kπ,k∈Z.故函数y=sinx-π4的对称轴为x=3π4+kπ,k∈Z;对称中心为π4+kπ,0,k∈Z.3.若函数f(x)=2tankx+π3的最小正周期T满足1T2,则自然数k的值为________.解析由题意得1πk2,k∈N,∴π2kπ,k∈N,∴k=2或3.2或34.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有fπ3-x=fπ3+x.则其解析式可以是f(x)=_________________.(写出一个满足条件的解析式即可)cos3x(答案不唯一)解析因为对于任意的x∈R,都有fπ3-x=fπ3+x,所以函数的图象关于直线x=π3对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,∴x=kπ3,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=π3对称.(1)三角函数周期的一般求法①公式法;②不能用公式求周期的函数时,可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.(3)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可.思维升华π2kπ2π2命题点1求三角函数的单调区间例2(1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2上单调递增的是A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|题型三三角函数的单调性多维探究√解析A中,函数f(x)=|cos2x|的周期为π2,当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,函数f(x)单调递增,故A正确;B中,函数f(x)=|sin2x|的周期为π2,当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,函数f(x)单调递减,故B不正确;C中,函数f(x)=cos|x|=cosx的周期为2π,故C不正确;D中,f(x)=sin|x|=sinx,x≥0,-sinx,x0,由正弦函数图象知,在x≥0和x0时,f(x)均以2π为周期,但在整个定义域上f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.(2)函数f(x)=sin-2x+π3的单调递减区间为________________________.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)解析f(x)=sin-2x+π3=sin-2x-π3=-sin2x-π3,由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.故所求函数的单调递减区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).命题点2根据单调性求参数例3(2021·湖南师大附中月考)若函数f(x)=23·sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx在区间-3π2,3π2上单调递增,则正数ω的最大值为A.18B.16C.14D.13√解析方法一因为f(x)=23sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx=3sin2ωx+1在区间-3π2,3π2上单调递增,所以-3ωπ≥-π2,3ωπ≤π2,解得ω≤16,所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二易知f(x)=3sin2ωx+1
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