【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 强化训练1　不等式中的综合问题

强化训练1不等式中的综合问题1．若1a1b0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C．a＋b0D．|a|＋|b||a＋b|答案D解析由题意可知ba0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．2．(2020·沅陵模拟)已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|x2－4x＋30}，则A∩B等于()A．{x|x－1或x1}B．{x|2x3}C．{x|1x3}D．{x|1x2}答案B解析由题意可知，A＝{x|x－1或x2}，B＝{x|1x3}，则A∩B＝{x|2x3}．3．若ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b1bB．a2abC.|b||a||b|＋1|a|＋1D．anbn答案C解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b||a||b|＋1|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b||a||b|＋|a|⇔|b||a|，∵ab0，∴|b||a|成立，故选C.4．(2021·长沙期中)在R上定义运算⊗：A⊗B＝(A－2)·B，若不等式(t－x)⊗(x＋t)4对任意的x∈R恒成立，则实数t的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,2)C．(－1,3)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案C解析∵(t－x)⊗(x＋t)＝(t－x－2)(x＋t)，即(t－x)⊗(x＋t)＝(t－x－2)(x＋t)4对任意实数x恒成立，x2＋2x－t2＋2t＋40对任意实数x恒成立，∴Δ＝4－4(－t2＋2t＋4)0，解得－1t3.5．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有()A．若ab，cd，则a＋cb＋dB．若ab，cd，则b－ca－dC．若ab，cd，则acbdD．若ab，c0，则acbc答案AD解析∵ab，cd，由不等式的同向可加性得a＋cb＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4－2，－1－3，则4×(－1)(－2)×(－3)，故C不正确；∵ab，c0，∴acbc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.6．(多选)下列结论中，所有正确的结论有()A．若ac2bc2，则a－c2b－c2B．若a，b，m∈R＋，则a＋mb＋mabC．当x∈(0，π)时，sinx＋1sinx≥2D．若a，b∈R＋，a＋b＝1，则1a＋1b≥4.答案ACD解析对于A，由于ac2bc2，所以ab，故a－c2b－c2，故正确；对于B，a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m，又a，b，m∈R＋，当ba时，不等式成立，当ba时，不等式不成立，故错误．对于C，x∈(0，π)时，sinx＋1sinx≥2sinx·1sinx＝2，当且仅当x＝π2时，等号成立，故正确．对于D，若a，b∈R＋，a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝12时等号成立，故正确．故选ACD.7．要使y＝x2－4x＋3有意义，则x的取值范围为________．答案{x|x≤1或x≥3}解析因为y＝x2－4x＋3有意义，则x2－4x＋3≥0，解不等式得x≤1或x≥3，即x的取值范围为{x|x≤1或x≥3}．8．(2020·梅河口五中月考)已知正实数a，b，c满足a2＋b2＝2c2，则ca＋cb的最小值为________．答案2解析因为2c2＝a2＋b2≥2ab，即c2≥ab，所以ca＋cb≥2ca·cb＝2c2ab≥2，当且仅当ca＝cb，即a＝b＝c时，等号成立，所以ca＋cb的最小值为2.9．(2021·江苏邗江中学模拟)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝pp－ap－bp－c求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝6cm，c＝4cm，则此三角形面积的最大值为________cm2.答案25解析由已知条件可得p＝a＋b＋c2＝5(cm)，∴S＝pp－ap－bp－c＝55－a5－b≤55－a＋5－b2＝25(cm2)，当且仅当a＝b＝3cm时，等号成立．因此，该三角形面积的最大值为25cm2.10．(2020·渭南模拟)已知函数y＝|logax|(a0，a≠1)与函数y＝b(b0)存在两个不同的交点，两交点的横坐标分别为x1，x2(x1x2)，则2x1＋x2的最小值为________．答案22解析由题意，根据函数y＝|logax|的特点，可知0＜x1＜1＜x2，且logax1＋logax2＝0，即loga(x1x2)＝0，x1x2＝1，故x2＝1x1，∴2x1＋x2＝2x1＋1x1≥22x1·1x1＝22.当且仅当2x1＝1x1，即x1＝22时，等号成立．11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝fx，x＞0，－fx，x＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b的取值范围．解(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，所以－b2a＝－1，f－1＝a－b＋1＝0，得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因为F(x)＝fx，x0，－fx，x0，所以F(2)＋F(－2)＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在x∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得g(x)＝1x－x的最小值为0，h(x)＝－1x－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.13．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b0，c0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是()A．9B．8C．4D．2答案A解析圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此4b＋1c＝(b＋c)4b＋1c＝4cb＋bc＋5.因为b0，c0，所以4cb＋bc≥24cb·bc＝4.当且仅当4cb＝bc时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即当b＝23，c＝13时，4b＋1c取得最小值9.14．设m＝log0.30.6，n＝12log20.6，则()A．m－nmnm＋nB．m－nm＋nmnC．mnm－nm＋nD．m＋nm－nmn答案B解析因为m＝log0.30.6log0.31＝0，n＝12log20.612log21＝0，所以mn0，m－n0，因为－1n＝－2log0.62＝log0.60.250，1m＝log0.60.30，而log0.60.25log0.60.3，所以－1n1m0，即可得m＋n0，因为(m－n)－(m＋n)＝－2n0，所以m－nm＋n，所以m－nm＋nmn.故选B.15．圆M的方程为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE→·PF→的最小值为________．答案6解析设∠CPE＝α，则∠EPF＝2α，由切线长定理可得|PE→|＝|PF→|，|PC→|＝|PE→|2＋4，cosα＝|PE→||PC→|，PE→·PF→＝|PE→|·|PF→|cos2α＝|PE→|2·(2cos2α－1)＝|PE→|2·2|PE→|2|PE→|2＋4－1＝2|PE→|4|PE→|2＋4－|PE→|2＝2[|PE→|2＋4－4]2|PE→|2＋4－|PE→|2＝2(|PE→|2＋4)－16＋32|PE→|2＋4－|PE→|2＝(|PE→|2＋4)＋32|PE→|2＋4－12＝|PC→|2＋32|PC→|2－12，圆心M的坐标为(2＋5cosθ，5sinθ)，则|MC→|＝2＋5cosθ－22＋5sinθ2＝5，由图可得|MC→|－1≤|PC→|≤|MC→|＋1，即4≤|PC→|≤6，则16≤|PC→|2≤36，由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋32x－12在区间[16,36]上单调递增，所以当|PC→|2＝16时，PE→·PF→取得最小值为16＋3216－12＝6.16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.(1)试用α表示该步行道MN的长度；(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．解(1)因为∠ACB＝π3，所以∠NCT＝π3－α，因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tanα，在Rt△CNT中，∠NCT＝π3－α，所以NT＝10tanπ3－α，所以MN＝10tanα＋10tanπ3－α，其中0απ3.(2)因为0απ3，所以0tanα3，MN＝10tanα＋10tanπ3－α＝10tanα＋3－tanα1＋3tanα，令1＋3tanα＝t，其中1t4，则MN＝10tanα＋3－tanα1＋3tanα＝10t－13＋4－t3t＝1033t＋4t－2≥2033，当且仅当t＝4t，即t＝2，α＝π6时，MN的最小值为2033，故当α＝π6时，步行道的长度有最小值2033米．